有限な等差数列が2つ与えられている。2, 5, 8, 11, … の第1000項までと、−1, 6, 13, 20, … の第1000項までである。両方に現れる数は何個あるか。

Step-by-step solution

1. 1

   それぞれの数列を合同式で表す。 $(a_n)$ は $d=3$ で $2$ から始まるので、その項はちょうど、範囲内の整数のうち $x\equiv 2\pmod 3$ を満たすものである。$(b_n)$ は $d=7$ で $-1$ から始まるので、その項は $x\equiv -1\equiv 6\pmod 7$ を満たす整数である。

2. 2

   それぞれの末項を求める。 $a_{1000}=2+999\cdot 3=2999,\qquad b_{1000}=-1+999\cdot 7=6992$ よって重なりが存在しうるのは、短いほうの範囲 $[2,\;2999]$ の中だけである。

3. 3

   2 つの合同式を連立して解く。 $x\equiv 2\pmod 3$ かつ $x\equiv 6\pmod 7$ が必要である。$x=6,13,20$ を最初の合同式に当てはめてみると $20=3\cdot 6+2$ が成り立つので、中国剰余定理より $x\equiv 20\pmod{21}$ となる（法は $\operatorname{lcm}(3,7)=21$ である）。

4. 4

   範囲内の解を数える。 共通項は $20,41,62,\dots\le 2999$ で、公差 $21$ の等差数列をなす： $\left\lfloor\frac{2999-20}{21}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{2979}{21}\right\rfloor+1=141+1=142$

5. 5

   確認して答える。 1000 項の集合を両方とも実際に作って共通部分をとっても要素は $142$ 個になるので、答えは C である。