連立方程式 (1/3)x − (1/3)y = −1、−(1/3)x + y − (1/2)z = −w、(5/6)z − (1/2)y = w、x = 30 + z を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず最も簡単な式の分数を払う。 $\tfrac13x-\tfrac13y=-1$ に $3$ を掛けると

   $x-y=-3\;\Longrightarrow\;x=y-3.$

   となる。未知数が最も少ない式から始めれば、代入は短く済む。

2. 2

   $x$ を表す 2 つの式をつなぐ。 4 つ目の式は $x=30+z$ と言っているので、

   $30+z=y-3\;\Longrightarrow\;y=33+z.$

   となる。これで $w$ を除くどの未知数も $z$ で表せる。

3. 3

   2 つ目と 3 つ目の式を突き合わせて $w$ を消す。 2 つ目に $-1$ を掛けると $\tfrac13x-y+\tfrac12z=w$ となり、3 つ目は $\tfrac56z-\tfrac12y=w$ を与える。両者を等しいと置き、$x=30+z$ を代入すると：

   $10+\frac13z-y+\frac12z=\frac56z-\frac12y.$

   $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$ なので、$z$ の項は両辺で同一になり、完全に打ち消し合う。この連立が 1 行で解けるのは、まさにこの手順のおかげである。

4. 4

   残った式を $y$ について解く。

   $10-y=-\frac12y\;\Longrightarrow\;20-2y=-y\;\Longrightarrow\;y=20.$

   すると $y=33+z$ から $z=20-33=-13$、$x=30+z$ から $x=17$ となる。

5. 5

   $w$ を復元し、4 つの式すべてを検算する。 3 つ目の式から、

   $w=\frac56(-13)-\frac12(20)=-\frac{65}{6}-10=-\frac{125}{6}.$

   分数のまま厳密に確かめると：$\tfrac13(17)-\tfrac13(20)=-1$ ✓、$-\tfrac13(17)+20-\tfrac12(-13)=\tfrac{125}{6}=-w$ ✓、$\tfrac56(-13)-\tfrac12(20)=-\tfrac{125}{6}=w$ ✓、$30+(-13)=17=x$ ✓。