152.5 × 0.5 × (x/54.9) + 152.5 × (1 − x/54.9) = 100 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   式変形に入る前に構造を読む。 分数 $\frac{x}{54.9}$ は全体のうち半分の強さで入っている割合であり、$1-\frac{x}{54.9}$ は強さ $152.5$ のまま残っている割合である。同じ分数が符号違いで 2 回現れるのはそのためで、これによって方程式は未知数 $t=\frac{x}{54.9}$ について 1 次になる。

2. 2

   定数の積をつぶして展開する。 まず $152.5\cdot 0.5=76.25$ である。2 つ目の項を分配すると

   $152.5\left(1-\frac{x}{54.9}\right)=152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}$

   となるので、方程式は

   $76.25\cdot\frac{x}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}=100$

   と書ける。

3. 3

   2 つの $\frac{x}{54.9}$ の項をまとめる。 係数どうしが引き算になる。

   $76.25-152.5=-76.25$

   ので

   $152.5-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=100$

   が残る。強さいっぱいの状態から目標値までの下げ幅は、ちょうど全量の半分にあたる——それがこの $-76.25$ である。

4. 4

   分数を孤立させる。 $152.5$ を引き、$-76.25$ で割ると

   $-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=-52.5\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{54.9}=\frac{52.5}{76.25}$

   となる。

5. 5

   丸めずに比を約分する。 分子と分母を $100$ 倍してから $125$ で割ると

   $\frac{52.5}{76.25}=\frac{5250}{7625}=\frac{42}{61}$

   となる。ここでこの問題は見た目より美しいことが分かる。$549=9\cdot 61$ なので

   $x=54.9\cdot\frac{42}{61}=\frac{549}{10}\cdot\frac{42}{61}=\frac{9\cdot 42}{10}=\frac{378}{10}$

   となる。

6. 6

   厳密な答えを述べ、検算する。 よって $x=37.8$ がちょうど成り立つ——この小数は有限で、丸めた値ではない。代入すると

   $76.25\cdot\frac{37.8}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{37.8}{54.9}=152.5-76.25\cdot\frac{42}{61}=152.5-52.5=100\ \checkmark$