連立方程式ソルバー

連立方程式（同時方程式とも呼ばれます）とは、同じ変数を持つ2つ以上の方程式の組で、それらすべてを同時に満たさなければならないものです。解は、すべての方程式を同時に真にする値の組です。

2元1次の2つの連立方程式は次の形をとります。

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

幾何学的には、各方程式は平面上の直線を表します。解は直線が交わる点です。

連立方程式は次のいずれかになりえます。

• 一意の解: 直線がちょうど1点で交わる（無矛盾かつ独立）。
• 解なし: 直線が平行（矛盾）。
• 無限に多くの解: 直線が同一（無矛盾かつ従属）。

連立方程式は無数の応用に現れます。混合問題、回路解析、需給均衡、交通流、最適化など。3変数以上のより大きな連立方程式は工学やデータサイエンスに現れます。

1. 代入法

1つの方程式を1つの変数について解き、それをもう一方の方程式に代入します。

例: $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$ を解く

1. 方程式1から: $x = y + 1$
2. 方程式2に代入: $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. 代入し戻す: $x = 1 + 1 = 2$

2. 消去法

方程式を足したり引いたりして1つの変数を消去します。

例: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$ を解く

1. 方程式2を3倍する: $3x - 3y = 3$
2. 方程式1に足す: $5x = 10$ → $x = 2$
3. 代入し戻す: $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. 行列法（ガウスの消去法）

連立方程式を拡大係数行列として書き、行簡約します。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. クラメルの公式

$2 \times 2$ の連立方程式で、$D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ のとき:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. グラフによる解法

各方程式をグラフに描き、交点を特定します。

• 誤った代入: 式を代入するとき、その変数が現れるすべての箇所を置き換え、括弧を使います。
• 方程式の一部だけを掛ける: 消去のために掛けるとき、すべての項（定数を含む）を掛けなければなりません。
• 符号を見失う: 消去中の負の係数には特に注意します。
• 早まって解なしと宣言する: $0 = 0$ になるのは無限に多くの解（従属系）を意味し、解なしではありません。$0 = c$（$c \neq 0$）のときだけ解なしを意味します。
• すべての変数を求め忘れる: 1つの変数を求めた後、必ず代入し戻して他を求めます。