連立方程式 (1/3)x + (1/3)y = −1、−1/3 + y − (1/2)z = −w、(5/6)z − (1/2)y = w、x = 30 + z を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の式の分母を払い、4 つ目を織り込む。 $3$ を掛けると：

   $x+y=-3.$

   $x=30+z$ を代入すると $30+z+y=-3$ となるので、

   $y+z=-33\quad\Longrightarrow\quad y=-33-z.$

   ここでは 2 つ目の式を字義どおり読むことが大切である。先頭の項は定数 $-\tfrac13$ なので、$x$ は 4 式のうち 2 式にしか現れない。

2. 2

   $w$ を表す式を 2 つ作る。 2 つ目の式に $-1$ を掛けると

   $w=\frac13-y+\frac12z,$

   となり、3 つ目の式はそのまま

   $w=\frac56z-\frac12y.$

   を与える。

3. 3

   両者を等号でつなぎ、分母を払う。 2 つの右辺を等しいと置いて $6$ を掛けると：

   $2-6y+3z=5z-3y\;\Longrightarrow\;2-3y-2z=0\;\Longrightarrow\;3y+2z=2.$

4. 4

   $y=-33-z$ を代入して $z$ を求める。

   $3(-33-z)+2z=2\;\Longrightarrow\;-99-z=2\;\Longrightarrow\;z=-101.$

   すると $y=-33-(-101)=68$、$x=30+z=-71$ となる。

5. 5

   $w$ を復元し、4 つの式すべてを検算する。

   $w=\frac56(-101)-\frac12(68)=-\frac{505}{6}-34=-\frac{709}{6}.$

   厳密な検算：$\tfrac13(-71)+\tfrac13(68)=-1$ ✓、$-\tfrac13+68-\tfrac12(-101)=\tfrac{709}{6}=-w$ ✓、$\tfrac56(-101)-\tfrac12(68)=-\tfrac{709}{6}=w$ ✓、$30+(-101)=-71=x$ ✓。