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Algebra · real student question

連立方程式 (1/3)x − (1/3)y = −1 − m、−(1/3)x + y − (1/2)z = −4w、(5/6)z − (1/2)y = 4w + m、x = 30 + z、y = 6w を解け。

Question

xx、yy、zz、ww、mm について解け。

13x−13y=−1−m,−13x+y−12z=−4w,\frac13x-\frac13y=-1-m,\qquad -\frac13x+y-\frac12z=-4w,
56z−12y=4w+m,x=30+z,y=6w.\frac56z-\frac12y=4w+m,\qquad x=30+z,\qquad y=6w.

Step-by-step solution

  1. 2 つの明示的な代入式で未知数の個数を減らす。 最後の 2 式は x=30+zx=30+z と y=6wy=6w をそのまま与えるので、残るのは zz、ww、mm だけである。1 つ目の式に代入すると：

    13(30+z)−13(6w)=−1−m  ⟹  10+z3−2w=−1−m,\frac13(30+z)-\frac13(6w)=-1-m\;\Longrightarrow\;10+\frac{z}{3}-2w=-1-m,

    となり、

    m=−11−z3+2w.m=-11-\frac{z}{3}+2w.

    が得られる。

  2. 2 つ目の式を ww と zz の関係に還元する。

    −13(30+z)+6w−z2=−4w  ⟹  −10−z3−z2+6w=−4w.-\frac13(30+z)+6w-\frac{z}{2}=-4w\;\Longrightarrow\;-10-\frac{z}{3}-\frac{z}{2}+6w=-4w.

    13+12=56\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56 なので、これは −10−56z+10w=0-10-\tfrac56z+10w=0 であり、したがって

    w=1+z12.w=1+\frac{z}{12}.

    となる。この式には mm がまったく入っていない。面倒な消去をせずに連立が解けるのはそのためである。

  3. 3 つ目の式を還元する。 y=6wy=6w を使うと、

    56z−3w=4w+m  ⟹  m=56z−7w.\frac56z-3w=4w+m\;\Longrightarrow\;m=\frac56z-7w.

  4. mm を表す 2 つの式を等号でつなぎ、zz について解く。

    56z−7w=−11−z3+2w  ⟹  76z+11=9w.\frac56z-7w=-11-\frac{z}{3}+2w\;\Longrightarrow\;\frac76z+11=9w.

    w=1+z12w=1+\tfrac{z}{12} を代入すると 9w=9+34z9w=9+\tfrac34z なので：

    76z+11=9+34z  ⟹  (1412−912)z=−2  ⟹  512z=−2  ⟹  z=−245.\frac76z+11=9+\frac34z\;\Longrightarrow\;\left(\frac{14}{12}-\frac{9}{12}\right)z=-2\;\Longrightarrow\;\frac{5}{12}z=-2\;\Longrightarrow\;z=-\frac{24}{5}.

  5. 残り 4 つの未知数に代入し直す。

    w=1−2460=35,y=6w=185,x=30−245=1265,m=56(−245)−7⋅35=−4−215=−415.w=1-\frac{24}{60}=\frac35,\quad y=6w=\frac{18}{5},\quad x=30-\frac{24}{5}=\frac{126}{5},\quad m=\frac56\left(-\frac{24}{5}\right)-7\cdot\frac35=-4-\frac{21}{5}=-\frac{41}{5}.

  6. 5 つの式すべてを厳密に検算する。 小数で書くと x=25.2x=25.2、y=3.6y=3.6、z=−4.8z=-4.8、w=0.6w=0.6、m=−8.2m=-8.2 である。有理数の計算で確かめると 13(25.2)−13(3.6)=7.2=−1−(−8.2)\tfrac13(25.2)-\tfrac13(3.6)=7.2=-1-(-8.2) ✓、−8.4+3.6+2.4=−2.4=−4(0.6)-8.4+3.6+2.4=-2.4=-4(0.6) ✓、−4+(−1.8)=−5.8=4(0.6)+(−8.2)-4+(-1.8)=-5.8=4(0.6)+(-8.2) ✓、30−4.8=25.230-4.8=25.2 ✓、6(0.6)=3.66(0.6)=3.6 ✓ となる。5 つとも成り立つので、この連立方程式は整合的であり、解は一意である。

Answer

x=1265,y=185,z=−245,w=35,m=−415x=\frac{126}{5},\quad y=\frac{18}{5},\quad z=-\frac{24}{5},\quad w=\frac35,\quad m=-\frac{41}{5}

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