連立方程式 100a + 10b + c = 5.9、400a + 20b + c = 8.4、900a + 30b + c = 10.4 を a, b, c について解け。

Step-by-step solution

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   力任せに計算する前に構造を見る。 係数は $x=10,20,30$ における $x^{2}$、$x$、$1$ になっているので、この連立方程式は「$(10,5.9)$、$(20,8.4)$、$(30,10.4)$ を通る $y=ax^{2}+bx+c$ を当てはめよ」という問題そのものである。$c$ の係数が 3 式とも $1$ なので、隣り合う式どうしを引けばただちに消去できる。

2. 2

   式 2 から式 1 を引く。

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

3. 3

   式 3 から式 2 を引く。

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   2 つの簡約式は $a$ の係数だけが異なるので、もう一度引けば $a$ が求まる。

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   $a$、次に $b$、最後に $c$ を求める。

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   これを $30a+b=0.25$ に代入すると $-0.075+b=0.25$ となり、$b=0.325$。両方を最初の式に代入すると $-0.25+3.25+c=5.9$ となり、$c=2.9$ が得られる。

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   3 式すべてで検算する。 $a=-0.0025$、$b=0.325$、$c=2.9$ のとき、$100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓、$400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓、$900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓。同じ連立方程式を線形代数のルーチンで解いても $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$ が返る。$a$ が負であることは、当てはめた放物線が上に凸であることを意味し、データの増分が $2.5$ から $2.0$ へ減っていることと整合する。