部分積分：例題で学ぶ実践ガイド

部分積分は積の微分法則を逆に走らせたものであり、置換に次いで最もよく使われる積分技法です。公式は短いですが、どの部分を「u」、どれを「dv」にするかを選ぶのは、初めて見たときには一つの技術になります。このガイドでは LIATE のショートカットと段階的に難しくなる五つの例題を解説するので、試行錯誤ではなく信頼できる方法を身につけて読み終えられます。

公式

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

一つの積分を、（うまくいけば）より簡単な別の積分と交換します。技術は $u$ と $dv$ の選び方にあります——選び方が悪いと新しい積分はより難しくなります。

LIATE：信頼できる経験則

$u$ を選ぶときは、このリストで前にある関数を優先します。

Logarithmic（対数） > Inverse trig（逆三角） > Algebraic（代数） > Trigonometric（三角） > Exponential（指数）

残ったものが $dv$ になります。LIATE は定理ではありませんが、教科書の問題の約 90% で機能します。

例 1：$\int x e^x \, dx$（代数 × 指数）

LIATE → 代数が指数より先なので、$u = x$、$dv = e^x \, dx$。

• $du = dx$、$v = e^x$。
• 適用：$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$。

例 2：$\int x \ln x \, dx$（代数 × 対数）

LIATE → 対数を先に：$u = \ln x$、$dv = x \, dx$。

• $du = \frac{1}{x} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$。
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$。
• 簡約：$\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$。

例 3：$\int x^2 \sin x \, dx$（代数 × 三角——二回適用）

$u = x^2$、$dv = \sin x \, dx$。すると $du = 2x \, dx$、$v = -\cos x$。

• 一回目：$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$。
• $\int 2x \cos x \, dx$ への二回目：$u = 2x$、$dv = \cos x \, dx$ とする。すると $du = 2 \, dx$、$v = \sin x$。
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$。
• まとめると：$-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$。

次数 $n$ の多項式に $\sin/\cos/\exp$ を掛けたものを見たら、この法則を $n$ 回適用すると見込みましょう。

例 4：$\int e^x \cos x \, dx$（ループの技）

二つの因子はどちらも同じくらい「良い」候補です——積分しても微分しても、どちらも簡単になりません。二回適用すると、もとの積分が戻ってくるのを見て、代数的に解きます。

• 一回目：$u = \cos x$、$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$。
• 新しい積分への二回目：$u = \sin x$、$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$。
• 代入して戻す：もとの積分 $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ もとの積分。
• 解く：$2 \cdot \text{もとの積分} = e^x (\cos x + \sin x)$、よって もとの積分 $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$。

例 5：$\int \ln x \, dx$（「明らかな dv がない」場合）

$dv$ として積分するものが何もないように見えます。技：$dv = dx$ を使います（$\ln x \cdot 1$ の「$1$」）。

• $u = \ln x$、$dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$。
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$。

この同じ技は $\int \arcsin x \, dx$、$\int \arctan x \, dx$ なども扱えます。

よくある間違い

1. 符号の誤り。公式にはマイナス記号が一つだけあります——下書き用紙を使って $+/-$ を追跡しましょう。
2. $u$ の選択を誤る。新しい積分がもとより難しければ、$u$ と $dv$ を逆に選んでいます。入れ替えましょう。
3. 不定積分で「+ C」を忘れる。
4. 置換でうまくいくのに部分積分を使う。部分積分は、u 置換のパターンに当てはまらない積に対するものです。$\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ なら置換を使いましょう。

自分で試してみよう

任意の積分を積分計算機に入力すると、置換、部分積分、部分分数のどれが正しい手かを——すべてのステップとともに——お見せします。

具体的な例題と関連トピックは以下を参照：

• 例題：∫ x² dx
• 例題：∫ sin(x) dx
• 微積分の公式チートシート
• 連鎖律をマスターする ——微分におけるいとこ