खंडशः समाकलन: उदाहरणों के साथ एक व्यावहारिक मार्गदर्शिका

खंडशः समाकलन उल्टा चलाया गया गुणनफल नियम है, और प्रतिस्थापन के बाद यह सबसे अधिक प्रयुक्त समाकलन तकनीक है। सूत्र छोटा है, लेकिन यह तय करना कि कौन-सा भाग "u" है और कौन-सा "dv", पहली बार देखने पर एक कला बन जाती है। यह मार्गदर्शिका LIATE शॉर्टकट और कठिनाई में बढ़ते पाँच उदाहरणों से होकर गुज़रती है, ताकि आप परीक्षण-और-त्रुटि के बजाय एक विश्वसनीय विधि के साथ समाप्त हों।

सूत्र

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

एक समाकल को दूसरे ऐसे समाकल से बदलें जो (उम्मीद है) आसान हो। कला $u$ और $dv$ चुनने में है — गलत चुनाव नए समाकल को कठिन बना देते हैं।

LIATE: एक विश्वसनीय अंगूठा-नियम

$u$ चुनते समय, इस सूची में पहले आने वाले फलनों को प्राथमिकता दें:

Lओगारिथमिक (लघुगणकीय) > Iनवर्स ट्रिग (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय) > Aल्जेब्रिक (बीजगणितीय) > Tरिगोनोमेट्रिक (त्रिकोणमितीय) > Eक्सपोनेंशियल (चरघातांकी)

जो बचता है वह $dv$ बन जाता है। LIATE कोई प्रमेय नहीं है, लेकिन यह लगभग 90% पाठ्यपुस्तक समस्याओं के लिए काम करता है।

उदाहरण 1: $\int x e^x \, dx$ (बीजगणितीय × चरघातांकी)

LIATE → चरघातांकी से पहले बीजगणितीय, अतः $u = x$, $dv = e^x \, dx$।

• $du = dx$, $v = e^x$।
• लागू करें: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$।

उदाहरण 2: $\int x \ln x \, dx$ (बीजगणितीय × लघुगणकीय)

LIATE → लघुगणक पहले: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$।

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$।
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$।
• सरल करें: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$।

उदाहरण 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (बीजगणितीय × त्रिकोणमितीय — दो बार लागू करें)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$। तब $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$।

• पहला चरण: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$।
• $\int 2x \cos x \, dx$ पर दूसरा चरण: मान लें $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$। तब $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$।
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$।
• संयोजित करें: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$।

जब आप घात $n$ वाले बहुपद को $\sin/\cos/\exp$ से गुणा होते देखें, तो नियम को $n$ बार लागू करने की अपेक्षा करें।

उदाहरण 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (चक्र वाली युक्ति)

दोनों गुणनखंड समान रूप से "अच्छे" उम्मीदवार हैं — समाकलित या अवकलित करने पर कोई भी सरल नहीं होता। दो बार लागू करें और मूल समाकल को वापस आते देखें, फिर बीजगणितीय रूप से हल करें।

• पहला चरण: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$।
• नए समाकल पर दूसरा चरण: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$।
• वापस प्रतिस्थापित करें: मूल $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ मूल।
• हल करें: $2 \cdot \text{मूल} = e^x (\cos x + \sin x)$, अतः मूल $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$।

उदाहरण 5: $\int \ln x \, dx$ (कोई स्पष्ट dv न होने वाला मामला)

ऐसा लगता है कि $dv$ के रूप में समाकलित करने को कुछ नहीं है। युक्ति: $dv = dx$ का उपयोग करें ($\ln x \cdot 1$ में मौजूद "$1$")।

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$।
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$।

यही युक्ति $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ और इसी तरह के समाकलों को भी संभालती है।

सामान्य गलतियाँ

1. चिह्न की गलतियाँ। सूत्र में एक ऋण चिह्न होता है — $+/-$ का हिसाब रखने के लिए रफ़ कागज़ का उपयोग करें।
2. $u$ को गलत चुनना। यदि नया समाकल मूल से कठिन है, तो आपने $u$ और $dv$ को उल्टा चुना है। उन्हें आपस में बदल लें।
3. अनिश्चित समाकलों पर "+ C" भूल जाना।
4. जब प्रतिस्थापन काम करता हो तब खंडशः का उपयोग करना। खंडशः उन गुणनफलों के लिए है जो u-प्रतिस्थापन पैटर्न में फिट नहीं होते। यदि $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ हो, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।

स्वयं आज़माएँ

किसी भी समाकल को समाकल कैलकुलेटर में डालें और हम आपको दिखाएँगे कि प्रतिस्थापन, खंडशः या आंशिक भिन्न — सही कदम क्या है, साथ ही हर चरण भी।

विशिष्ट हल किए गए उदाहरणों और संबंधित विषयों के लिए:

• हल किया गया उदाहरण: ∫ x² dx
• हल किया गया उदाहरण: ∫ sin(x) dx
• कलन सूत्रों की चीट शीट
• शृंखला नियम में महारत — अवकलन वाला चचेरा भाई