श्रृंखला नियम: इसे कब और कैसे लागू करें (उदाहरणों के साथ)

श्रृंखला नियम अवकलन में सबसे अधिक प्रयुक्त उपकरण है, और सबसे बड़ा त्रुटि-स्रोत भी। एक बार जब आप "बाहर-फिर-अंदर" पैटर्न आत्मसात कर लेते हैं, तो लगभग किसी भी संयुक्त फलन का अवकलज तीन पंक्तियों में निकाल सकते हैं। यह मार्गदर्शिका पैटर्न दिखाती है, सात उत्तरोत्तर कठिन उदाहरणों से होकर ले जाती है, और पहले से याद रखने योग्य चार गलतियाँ सूचीबद्ध करती है।

श्रृंखला नियम क्या कहता है

यदि $f$ और $g$ अवकलनीय हैं, तो संयोजन $f(g(x))$ का अवकलज है

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

शब्दों में: बाहरी फलन को आंतरिक पर मूल्यांकित कर अवकलित करें, फिर आंतरिक के अवकलज से गुणा करें। "बाहरी" और "आंतरिक" लेबल अपरिवर्तनीय हैं — इन्हें भ्रमित करने से उत्तर पलट जाता है।

एक उपयोगी स्मरण-युक्ति: श्रृंखला नियम है "बाहरी अवकलज गुणा आंतरिक अवकलज", कभी जोड़ नहीं, कभी केवल एक नहीं।

हल किए गए उदाहरण (आसान → कठिन)

उदाहरण 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• बाहरी: $\sin(u)$, आंतरिक: $u = 2x$।
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$।
• परिणाम: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$।

उदाहरण 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• बाहरी: $e^u$, आंतरिक: $u = x^2$।
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$।
• परिणाम: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$।

उदाहरण 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• बाहरी: $u^4$, आंतरिक: $u = 3x^2 + 1$।
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$।
• परिणाम: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$।

उदाहरण 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• बाहरी: $\ln u$, आंतरिक: $u = \cos x$।
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$।
• परिणाम: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$।

उदाहरण 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• $(x^2 + 1)^{1/2}$ के रूप में पुनः लिखें।
• बाहरी: $u^{1/2}$, आंतरिक: $u = x^2 + 1$।
• बाहरी अवकलज: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$। आंतरिक: $2x$।
• परिणाम: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$।

उदाहरण 6: नेस्टेड श्रृंखला — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

तीन परतें — श्रृंखला नियम दो बार लगाएँ।

• सबसे बाहरी: $\sin(u)$, आंतरिक $u = \cos(x^2)$।
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ ($\cos(x^2)$ पर श्रृंखला नियम)।
• परिणाम: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$।

उदाहरण 7: श्रृंखला + गुणनफल नियम साथ — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• पहले गुणनफल नियम: $(fg)' = f'g + fg'$।
• $f = x^2$, $f' = 2x$। $g = \sin(3x)$, श्रृंखला नियम से $g' = 3\cos(3x)$।
• परिणाम: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$।

याद रखने योग्य चार गलतियाँ

1. आंतरिक अवकलज भूलना। $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ लिखना सबसे आम श्रृंखला-नियम त्रुटि है। गुणक $2$ अनिवार्य है।
2. प्रतिस्थापन से पहले आंतरिक का अवकलन। $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ $4(6x)^3$ नहीं है। बाहरी अवकलज आंतरिक व्यंजक पर मूल्यांकित होता है, आंतरिक अवकलज पर नहीं।
3. नेस्टेड फलन को गुणनफल समझना। $\sin(2x)$ एक संयोजन है, गुणनफल नहीं। श्रृंखला नियम लगाएँ, गुणनफल नियम नहीं।
4. त्रिकोणमितीय घातों में गलत कोष्ठक। $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — बाहरी $u^2$, आंतरिक $\sin x$। $\sin(x^2)$ से आसानी से भ्रमित होता है जहाँ बाहरी $\sin$ और आंतरिक $x^2$ है।

जब अटक जाएँ: प्रतिस्थापन की युक्ति

$u = \text{(आंतरिक भाग)}$ रखें, $\frac{dy}{du}$ और $\frac{du}{dx}$ निकालें, गुणा करें। भले ही फलन भयावह दिखे, यह यांत्रिक प्रतिस्थापन हमेशा काम करता है।

स्वयं आज़माएँ

किसी भी संयुक्त फलन को हमारे मुफ़्त अवकलज कैलकुलेटर में पेस्ट करें और श्रृंखला नियम के प्रत्येक अनुप्रयोग को चरण-दर-चरण देखें। गृहकार्य के दौरान त्वरित संदर्भ के लिए इसे हमारे श्रृंखला नियम चीट शीट खंड के साथ जोड़ें।

गहरी संबंधित सामग्री के लिए:

• सीमा कैलकुलेटर — सीमाएँ श्रृंखला नियम की नींव में जाती हैं
• समाकलन कैलकुलेटर — प्रतिस्थापन उल्टा चला श्रृंखला नियम है
• हल किया गया उदाहरण: sin(2x) का अवकलज
• हल किया गया उदाहरण: e^(2x) का अवकलज