समाकल कैलकुलेटर

एक समाकल कलन में एक मौलिक संकल्पना है जो राशियों के संचयन को निरूपित करती है। दो मुख्य प्रकार हैं:

अनिश्चित समाकल (प्रतिअवकलज)

$f(x)$ का अनिश्चित समाकल फलनों का एक परिवार $F(x) + C$ है जैसा कि $F'(x) = f(x)$:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

जहाँ $C$ समाकलन अचर है।

निश्चित समाकल

निश्चित समाकल वक्र $f(x)$ के नीचे $a$ से $b$ तक का निवल चिह्नित क्षेत्रफल परिकलित करता है:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

यह संबंध कलन के मूल प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो अवकलन और समाकलन को जोड़ता है।

ज्यामितीय रूप से, निश्चित समाकल अंतराल $[a, b]$ पर फलन और $x$-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल निरूपित करता है। अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल धनात्मक होते हैं, और नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक।

समाकलों के भौतिकी (कार्य, विस्थापन), अभियांत्रिकी (संकेत प्रसंस्करण), प्रायिकता (प्रत्याशित मान), और अर्थशास्त्र (उपभोक्ता अधिशेष) में व्यापक अनुप्रयोग हैं।

मूल समाकलन नियम

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

विधि 1: प्रतिस्थापन (u-प्रतिस्थापन)

तब प्रयोग किया जाता है जब समाकल्य में एक संयुक्त फलन हो। मान लें $u = g(x)$, तो $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

उदाहरण: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$। मान लें $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, अतः समाकल बनता है $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$।

विधि 2: खंडशः समाकलन

अवकलजों के लिए गुणनफल नियम पर आधारित:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

LIATE नियम (लघुगणकीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी) का उपयोग करके $u$ और $dv$ चुनें।

उदाहरण: $\int x \cdot e^x\,dx$। मान लें $u = x$, $dv = e^x\,dx$। तब $du = dx$, $v = e^x$। परिणाम: $xe^x - e^x + C$।

विधि 3: आंशिक भिन्न

परिमेय फलनों $\frac{P(x)}{Q(x)}$ के लिए, सरल भिन्नों में वियोजित करें:

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

विधि 4: त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

$\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, या $\sqrt{x^2 - a^2}$ वाले समाकल्यों के लिए:

विधियों की तुलना

• समाकलन अचर भूलना: प्रत्येक अनिश्चित समाकल में $+ C$ शामिल होना चाहिए। प्रतिअवकलज फलनों का एक परिवार है।
• गलत घात नियम अनुप्रयोग: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$, न कि $\frac{x^0}{0}$। घात नियम $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ लागू नहीं होता जब $n = -1$।
• त्रिकोणमितीय समाकलों के साथ चिह्न त्रुटियाँ: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (ऋणात्मक चिह्न)। $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (धनात्मक चिह्न)।
• वापस प्रतिस्थापित करना भूलना: $u$-प्रतिस्थापन का उपयोग करते समय, हमेशा अंतिम उत्तर को मूल चर $x$ में वापस बदलें।
• निश्चित समाकलों में गलत सीमाएँ: निश्चित समाकलों में प्रतिस्थापन का उपयोग करते समय, या तो सीमाओं को नए चर से मिलाने हेतु बदलें या मान निकालने से पहले वापस प्रतिस्थापित करें।