Calculatrice de forme réduite (y = mx + b)

La forme réduite d'une équation linéaire à deux variables est :

$y = mx + b$

où :

• $m$ est la pente — l'inclinaison de la droite (montée ou descente). Pente $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine — la valeur de $y$ où la droite croise l'axe des ordonnées (le point $(0, b)$).

Pourquoi cette forme est spéciale : elle révèle d'un coup d'œil deux informations géométriques — la pente et l'ordonnée à l'origine — sans aucun calcul. À l'inverse, la forme générale $Ax + By = C$ masque les deux.

La forme réduite est la forme de travail privilégiée pour tracer des droites, comparer les relations parallèle/perpendiculaire et écrire des équations à partir d'une description.

Cas 1 : À partir d'une équation en forme générale

Étant donné $Ax + By = C$, résoudre pour $y$ :

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

Donc $m = -A/B$ et $b = C/B$.

Cas 2 : À partir de deux points

Étant donné $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ :

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Puis utiliser l'un des points pour résoudre $b$ :

$b = y_1 - m x_1$

Cas 3 : À partir de la pente et d'un point

Étant donné la pente $m$ et un point $(x_0, y_0)$ :

$b = y_0 - m x_0$

Cas 4 : À partir d'un graphe

Lire directement l'ordonnée à l'origine où la droite croise l'axe des ordonnées. Choisir un autre point du quadrillage et compter $\text{rise} / \text{run}$ pour trouver $m$.

Cas particuliers

• Droite horizontale $y = c$ : pente $m = 0$, ordonnée à l'origine $b = c$.
• Droite verticale $x = c$ : la pente est indéfinie. Ne peut pas s'écrire sous la forme $y = mx + b$.

Droites parallèles et perpendiculaires

Deux droites $y = m_1 x + b_1$ et $y = m_2 x + b_2$ sont :

• Parallèles si et seulement si $m_1 = m_2$ (même pente, ordonnées différentes)
• Perpendiculaires si et seulement si $m_1 m_2 = -1$ (pentes inverses opposées)

• Erreurs de signe de la pente : $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. Soustrayez les $y$ dans le même ordre que les $x$. Inverser l'un mais pas l'autre change le signe.
• Division par zéro : si $x_1 = x_2$, la droite est verticale — pente indéfinie, aucune forme réduite n'existe.
• Confondre ordonnée et abscisse à l'origine : $b$ est l'ordonnée à l'origine (sur l'axe des $y$). L'abscisse à l'origine se trouve en posant $y = 0$ et en résolvant pour $x$.
• Oublier de diviser par $B$ : en convertissant $Ax + By = C$ en forme réduite, vous devez diviser chaque terme par $B$, pas seulement le terme en $y$.
• Mauvaise pente perpendiculaire : perpendiculaire signifie $m_1 m_2 = -1$, donc $m_2 = -1/m_1$. Changer juste le signe ou juste prendre l'inverse ne suffit pas.