Calculatrice de factorisation

La factorisation est le procédé qui consiste à décomposer une expression polynomiale en un produit d'expressions plus simples appelées facteurs. C'est l'inverse du développement (multiplication).

Par exemple :

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Le membre de gauche est un seul polynôme ; le membre de droite est la même expression écrite comme un produit de deux binômes.

La factorisation est essentielle en algèbre car elle nous permet de :

• Résoudre des équations : annuler chaque facteur donne les racines.
• Simplifier des fractions : éliminer les facteurs communs dans les expressions rationnelles.
• Analyser le comportement : identifier les zéros, les asymptotes et les changements de signe.

Un polynôme est complètement factorisé lorsque chaque facteur est irréductible (ne peut plus être factorisé sur les entiers). Le théorème fondamental de l'algèbre garantit que tout polynôme de degré $n$ peut être factorisé en exactement $n$ facteurs linéaires sur les nombres complexes.

Les types courants de factorisation incluent :

• Factorisation par le plus grand commun diviseur (PGCD)
• Factorisation de trinômes
• Différence de carrés : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• Somme/différence de cubes
• Factorisation par regroupement

Voici les principales techniques de factorisation, classées de la plus simple à la plus avancée :

1. Factoriser le PGCD

Commencez toujours par mettre en facteur le plus grand commun diviseur.

Exemple : $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. Différence de carrés

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Exemple : $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. Trinômes carrés parfaits

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Exemple : $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. Factorisation de trinôme ($x^2 + bx + c$)

Trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p + q = b$ et $p \cdot q = c$ :

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

Exemple : $x^2 - 5x + 6$ : trouver $p + q = -5$ et $pq = 6$ → $p = -2, q = -3$

Donc $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. Méthode AC (pour $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 1$)

Multiplier $a \cdot c$, trouver deux nombres dont le produit est $ac$ et la somme est $b$, puis scinder et regrouper.

Exemple : $2x^2 + 7x + 3$ : $ac = 6$, trouver $1 + 6 = 7$

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. Somme/différence de cubes

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. Factorisation par regroupement

Regrouper les termes par paires et factoriser chaque paire, puis mettre en facteur le binôme commun.

• Oublier de factoriser d'abord le PGCD : vérifiez toujours s'il existe un facteur commun avant d'utiliser d'autres techniques.
• Confondre différence et somme de carrés : $a^2 - b^2$ se factorise, mais $a^2 + b^2$ ne se factorise pas sur les réels.
• Erreurs de signe dans la factorisation de trinôme : lorsque $c > 0$ et $b < 0$, $p$ et $q$ sont tous deux négatifs.
• S'arrêter trop tôt : vérifiez si chaque facteur peut être encore factorisé (par ex. $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$).
• Ne pas vérifier en développant : multipliez toujours vos facteurs pour confirmer qu'ils égalent l'expression d'origine.