Solveur d'équation polynomiale

Une équation polynomiale est une équation de la forme :

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

où $n$ est un entier positif appelé le degré, $a_n \neq 0$, et $a_0, a_1, \ldots, a_n$ sont des constantes (coefficients).

Les polynômes sont classés par degré :

• Degré 1 : Linéaire ($ax + b = 0$)
• Degré 2 : Du second degré ($ax^2 + bx + c = 0$)
• Degré 3 : Cubique ($ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$)
• Degré 4 : Quartique ($ax^4 + \cdots = 0$)
• Degré 5+ : Quintique et supérieur

Le théorème fondamental de l'algèbre énonce qu'un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines (comptées avec leur multiplicité) sur les nombres complexes. Par exemple, une équation cubique a toujours 3 racines, qui peuvent être réelles ou complexes.

Les équations polynomiales de degré supérieur apparaissent en physique (mouvement des projectiles, oscillations), en ingénierie (systèmes de commande), en économie (optimisation) et en infographie (intersections de courbes).

Contrairement aux équations du second degré, il n'existe pas de formule unique fonctionnant pour tous les polynômes de degré supérieur. Voici les principales stratégies :

1. Théorème des racines rationnelles

Pour $a_n x^n + \cdots + a_0 = 0$ à coefficients entiers, toute racine rationnelle $\frac{p}{q}$ doit satisfaire :

• $p$ divise $a_0$ (le terme constant)
• $q$ divise $a_n$ (le coefficient dominant)

Tester les candidats et utiliser la division synthétique pour réduire le degré.

Exemple : $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

• Racines rationnelles possibles : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
• Tester $x = 1$ : $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
• Diviser par $(x - 1)$ pour obtenir $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

2. Factorisation par regroupement

Réarranger les termes en groupes qui partagent des facteurs communs.

Exemple : $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2-4)(x+1) = (x+2)(x-2)(x+1)$

3. Substitution (équations du second degré déguisées)

Si seules des puissances paires apparaissent, posez $u = x^2$ :

Exemple : $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ → poser $u = x^2$ : $u^2 - 5u + 4 = 0$ → $(u-1)(u-4) = 0$

Donc $x^2 = 1$ ou $x^2 = 4$, donnant $x = \pm 1, \pm 2$.

4. Division synthétique

Une fois une racine $r$ trouvée, diviser par $(x - r)$ pour réduire le degré du polynôme, puis recommencer.

5. Règle des signes de Descartes

Compter les changements de signe dans $f(x)$ et $f(-x)$ pour déterminer le nombre maximal de racines réelles positives et négatives.

• Oublier les racines complexes : un polynôme de degré $n$ a toujours $n$ racines sur $\mathbb{C}$. Si vous ne trouvez que des racines réelles, les racines complexes viennent par paires conjuguées.
• Manquer les racines multiples : $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ a $x = 1$ comme racine double.
• Liste incomplète des racines rationnelles candidates : vérifiez toutes les combinaisons des diviseurs de $a_0$ sur les diviseurs de $a_n$.
• Erreurs arithmétiques dans la division synthétique : vérifiez chaque étape — un nombre faux se propage à tout le calcul.
• Supposer que toutes les racines sont rationnelles : de nombreux polynômes ont des racines irrationnelles ou complexes qui ne peuvent pas être trouvées par le seul théorème des racines rationnelles.