Intégration par parties : un guide pratique avec des exemples

L'intégration par parties est la règle du produit appliquée à l'envers, et c'est la technique d'intégration la plus utilisée après la substitution. La formule est courte, mais choisir quelle partie est « u » et laquelle est « dv » devient un art la première fois que vous la voyez. Ce guide parcourt le raccourci LIATE et cinq exemples de difficulté croissante, pour que vous repartiez avec une méthode fiable plutôt qu'avec des essais-erreurs.

La formule

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Échangez une intégrale contre une autre qui est (espérons-le) plus facile. L'art réside dans le choix de $u$ et $dv$ — de mauvais choix rendent la nouvelle intégrale plus difficile.

LIATE : une règle empirique fiable

Lorsque vous choisissez $u$, préférez les fonctions placées plus tôt dans cette liste :

Logarithmique > Inverse trigonométrique > Algébrique > Trigonométrique > Exponentielle

Ce qui reste devient $dv$. LIATE n'est pas un théorème, mais il fonctionne pour environ 90 % des exercices de manuel.

Exemple 1 : $\int x e^x \, dx$ (algébrique × exponentielle)

LIATE → algébrique avant exponentielle, donc $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Appliquez : $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Exemple 2 : $\int x \ln x \, dx$ (algébrique × logarithmique)

LIATE → logarithme d'abord : $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Simplifiez : $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Exemple 3 : $\int x^2 \sin x \, dx$ (algébrique × trigonométrique — appliquer deux fois)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Alors $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Premier passage : $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Deuxième passage sur $\int 2x \cos x \, dx$ : posez $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Alors $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Combinez : $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Lorsque vous voyez un polynôme de degré $n$ multiplié par $\sin/\cos/\exp$, attendez-vous à appliquer la règle $n$ fois.

Exemple 4 : $\int e^x \cos x \, dx$ (l'astuce de la boucle)

Les deux facteurs sont des candidats aussi « bons » l'un que l'autre — aucun ne devient plus simple par intégration ou par dérivation. Appliquez deux fois, regardez l'intégrale d'origine revenir, puis résolvez algébriquement.

• Premier passage : $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Deuxième passage sur la nouvelle intégrale : $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Substituez en retour : intégrale d'origine $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ intégrale d'origine.
• Résolvez : $2 \cdot \text{original} = e^x (\cos x + \sin x)$, donc l'intégrale d'origine $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Exemple 5 : $\int \ln x \, dx$ (le cas « pas de dv évident »)

On dirait qu'il n'y a rien à intégrer comme $dv$. Astuce : utilisez $dv = dx$ (le « $1$ » dans $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Cette même astuce traite $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ et similaires.

Erreurs courantes

1. Erreurs de signe. La formule comporte un seul signe moins — utilisez du brouillon pour suivre les $+/-$.
2. Mauvais choix de $u$. Si la nouvelle intégrale est plus difficile que l'originale, vous avez inversé $u$ et $dv$. Échangez-les.
3. Oublier le « + C » sur les intégrales indéfinies.
4. Utiliser l'intégration par parties alors que la substitution conviendrait. L'intégration par parties est faite pour les produits qui ne correspondent pas à un schéma de substitution en u. Si $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, utilisez la substitution.

Essayez vous-même

Déposez n'importe quelle intégrale dans la Calculatrice d'intégrales et nous vous montrerons si la substitution, l'intégration par parties ou les fractions partielles est le bon choix — ainsi que chaque étape.

Pour des exemples résolus précis et des sujets connexes :

• Exemple résolu : ∫ x² dx
• Exemple résolu : ∫ sin(x) dx
• Aide-mémoire des formules d'analyse
• Maîtriser la règle de la chaîne — le cousin côté dérivation