Calculatrice d'intégrale

Une intégrale est un concept fondamental de l'analyse qui représente l'accumulation de quantités. Il existe deux types principaux :

Intégrale indéfinie (primitive)

L'intégrale indéfinie de $f(x)$ est une famille de fonctions $F(x) + C$ telles que $F'(x) = f(x)$ :

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

où $C$ est la constante d'intégration.

Intégrale définie

L'intégrale définie calcule l'aire algébrique nette sous la courbe $f(x)$ de $a$ à $b$ :

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Cette relation est connue sous le nom de théorème fondamental de l'analyse, qui relie la dérivation et l'intégration.

Géométriquement, l'intégrale définie représente l'aire entre la fonction et l'axe des $x$ sur l'intervalle $[a, b]$. Les aires au-dessus de l'axe sont positives, et celles en dessous sont négatives.

Les intégrales ont de larges applications en physique (travail, déplacement), en ingénierie (traitement du signal), en probabilités (espérances) et en économie (surplus du consommateur).

Règles d'intégration de base

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

Méthode 1 : Substitution (changement de variable)

Utilisée lorsque l'intégrande contient une fonction composée. Poser $u = g(x)$, alors $du = g'(x)\,dx$ :

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

Exemple : $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. Poser $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, donc l'intégrale devient $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$.

Méthode 2 : Intégration par parties

Basée sur la règle du produit pour les dérivées :

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Choisir $u$ et $dv$ en utilisant la règle LIATE (Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle).

Exemple : $\int x \cdot e^x\,dx$. Poser $u = x$, $dv = e^x\,dx$. Alors $du = dx$, $v = e^x$. Résultat : $xe^x - e^x + C$.

Méthode 3 : Fractions partielles

Pour les fonctions rationnelles $\frac{P(x)}{Q(x)}$, décomposer en fractions plus simples :

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

Méthode 4 : Substitution trigonométrique

Pour les intégrandes contenant $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ ou $\sqrt{x^2 - a^2}$ :

Comparaison des méthodes

• Oublier la constante d'intégration : toute intégrale indéfinie doit inclure $+ C$. La primitive est une famille de fonctions.
• Application incorrecte de la règle de puissance : $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$, et non $\frac{x^0}{0}$. La règle de puissance $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ne s'applique pas quand $n = -1$.
• Erreurs de signe avec les intégrales trigonométriques : $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (signe négatif). $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (signe positif).
• Oublier de substituer en retour : avec la substitution, reconvertissez toujours la réponse finale dans la variable d'origine $x$.
• Mauvaises bornes dans les intégrales définies : avec la substitution dans les intégrales définies, changez les bornes pour correspondre à la nouvelle variable, ou substituez en retour avant d'évaluer.