La règle de dérivation en chaîne : quand et comment l'appliquer (avec exemples)

La règle de dérivation en chaîne est l'outil le plus utilisé en dérivation, et aussi la plus grande source d'erreurs. Une fois le schéma "extérieur puis intérieur" intériorisé, vous pouvez dériver presque n'importe quelle fonction composée en trois lignes. Ce guide vous montre le schéma, parcourt sept exemples de difficulté croissante et énumère les quatre erreurs à mémoriser à l'avance.

Ce que dit la règle en chaîne

Si $f$ et $g$ sont dérivables, la dérivée de la composée $f(g(x))$ est

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

En mots : dérivez la fonction extérieure évaluée en l'intérieure, puis multipliez par la dérivée de l'intérieure. Les étiquettes "extérieure" et "intérieure" ne sont pas négociables : les confondre inverse la réponse.

Un moyen mnémotechnique utile : la règle en chaîne est "la dérivée extérieure fois la dérivée intérieure", jamais plus, jamais une seule.

Exemples résolus (facile → difficile)

Exemple 1 : $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Extérieure : $\sin(u)$, intérieure : $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Résultat : $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Exemple 2 : $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Extérieure : $e^u$, intérieure : $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Résultat : $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Exemple 3 : $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Extérieure : $u^4$, intérieure : $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Résultat : $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Exemple 4 : $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Extérieure : $\ln u$, intérieure : $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Résultat : $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Exemple 5 : $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Réécrivez en $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Extérieure : $u^{1/2}$, intérieure : $u = x^2 + 1$.
• Dérivée extérieure : $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Intérieure : $2x$.
• Résultat : $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Exemple 6 : chaîne imbriquée — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Trois couches — appliquez la règle en chaîne deux fois.

• La plus extérieure : $\sin(u)$, intérieure $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (règle en chaîne sur $\cos(x^2)$).
• Résultat : $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Exemple 7 : chaîne + règle du produit ensemble — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Utilisez d'abord la règle du produit : $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, par la règle en chaîne $g' = 3\cos(3x)$.
• Résultat : $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Les quatre erreurs à mémoriser

1. Oublier la dérivée intérieure. Écrire $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ est l'erreur de règle en chaîne la plus courante. Le facteur $2$ est obligatoire.
2. Dériver l'intérieur avant de substituer. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ n'est pas $4(6x)^3$. La dérivée extérieure est évaluée en l'expression intérieure, pas en la dérivée intérieure.
3. Confondre fonction imbriquée et produit. $\sin(2x)$ est une composition, pas un produit. Utilisez la règle en chaîne, pas celle du produit.
4. Mal parenthéser les puissances trigonométriques. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — l'extérieure est $u^2$, l'intérieure est $\sin x$. Facile à confondre avec $\sin(x^2)$ où l'extérieure est $\sin$ et l'intérieure $x^2$.

Quand vous bloquez : l'astuce de la substitution

Posez $u = \text{(la partie intérieure)}$, trouvez $\frac{dy}{du}$ et $\frac{du}{dx}$, multipliez. Même quand la fonction paraît intimidante, cette substitution mécanique fonctionne toujours.

Essayez vous-même

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Pour des contenus connexes plus approfondis :

• Calculatrice de limites — les limites nourrissent le fondement de la règle en chaîne
• Calculatrice d'intégrales — la substitution, c'est la règle en chaîne à l'envers
• Exemple résolu : dérivée de sin(2x)
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