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Calculatrice de dérivée

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

Qu'est-ce qu'une dérivée ?

Une dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction. Pour une fonction f(x)f(x), la dérivée f′(x)f'(x) est définie par :

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Géométriquement, la dérivée en un point est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.

Notations courantes :

  • f′(x)f'(x) — notation de Lagrange
  • dydx\frac{dy}{dx} — notation de Leibniz
  • y˙\dot{y} — notation de Newton (utilisée en physique)

Règles de dérivation de base

Règle de puissance

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

Règle de la somme / différence

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

Règle du produit

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Règle du quotient

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Règle de dérivation en chaîne

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Dérivées usuelles

FonctionDérivée
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

Erreurs courantes à éviter

  • Oublier la règle de dérivation en chaîne : en dérivant des fonctions composées comme sin⁡(3x)\sin(3x), n'oubliez pas de multiplier par la dérivée intérieure (33).
  • Erreurs de signe avec la règle de puissance : ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}, et non −2x−1-2x^{-1}.
  • Confondre règle du produit et règle de dérivation en chaîne : (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' est la règle du produit ; (f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' est la règle de dérivation en chaîne.
  • Oublier les constantes : la dérivée d'une constante est 00, et non 11.

Examples

Step 1: Appliquer la règle de puissance à chaque terme : ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: Combiner : f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: Appliquer la règle du produit : f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: Simplifier : f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: Appliquer la règle de dérivation en chaîne : fonction extérieure eue^u où u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

La règle de puissance énonce que la dérivée de x^n est n·x^(n-1). Par exemple, la dérivée de x³ est 3x².

Utilisez la règle de dérivation en chaîne pour dériver des fonctions composées — des fonctions imbriquées dans d'autres fonctions, comme sin(3x), e^(x²) ou ln(2x+1). Multipliez la dérivée extérieure par la dérivée intérieure.

Une dérivée trouve le taux de variation (pente) d'une fonction, tandis qu'une intégrale trouve l'aire cumulée sous une courbe. Ce sont des opérations inverses l'une de l'autre.

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