Calculadora de seno, coseno y tangente

Las tres funciones trigonométricas principales — seno, coseno y tangente — relacionan los ángulos con razones de lados en un triángulo rectángulo:

$\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

En la circunferencia unitaria (radio 1, centrada en el origen), para un ángulo $\theta$ medido desde el eje $x$ positivo:

• $\cos\theta$ = coordenada $x$ del punto
• $\sin\theta$ = coordenada $y$ del punto
• $\tan\theta$ = pendiente del rayo terminal

Propiedades clave:

• $\sin$ y $\cos$ tienen rango $[-1, 1]$ y período $2\pi$
• $\tan$ tiene rango $(-\infty, \infty)$ y período $\pi$
• $\tan\theta$ no está definida cuando $\cos\theta = 0$ (en $\frac{\pi}{2} + n\pi$)

Las funciones recíprocas son:
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

Estas seis funciones constituyen la base de la trigonometría y aparecen en todas las matemáticas, la física, la ingeniería y el procesamiento de señales.

Método 1: Circunferencia unitaria (valores exactos)

Memoriza los ángulos clave y sus coordenadas en la circunferencia unitaria:

Método 2: Ángulos de referencia

Para ángulos más allá del primer cuadrante:

1. Halla el ángulo de referencia (ángulo agudo respecto al eje $x$)
2. Determina el signo según el cuadrante (regla ASTC: All, Sin, Tan, Cos)

Regla ASTC — qué funciones son positivas:

• Cuadrante I (0° a 90°): todas positivas
• Cuadrante II (90° a 180°): seno positivo
• Cuadrante III (180° a 270°): tangente positiva
• Cuadrante IV (270° a 360°): coseno positivo

Ejemplo: $\sin(150°)$ — El ángulo de referencia es $180° - 150° = 30°$. En el cuadrante II, el seno es positivo: $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Método 3: Fórmulas de suma y diferencia

Para ángulos no estándar, descompón en ángulos conocidos:

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Ejemplo: $\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Método 4: Transformaciones gráficas

Para $y = A\sin(Bx + C) + D$:

• $|A|$ = amplitud
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = período
• $-\frac{C}{B}$ = desfase
• $D$ = desplazamiento vertical

Comparación: cuándo usar cada método

• Signo de cuadrante equivocado: $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, no $+\frac{1}{2}$. Comprueba siempre qué cuadrante determina el signo.
• Confundir grados y radianes: $\sin(\pi) = 0$ (radianes), pero $\sin(180) \approx -0.80$ si se interpreta como 180 radianes. Sé coherente con las unidades.
• Olvidar que la tangente no está definida: $\tan(90°)$ y $\tan(270°)$ no están definidas (asíntotas verticales), no son cero ni infinito.
• Aplicar mal la fórmula de la suma: $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$. Debes usar el desarrollo correcto.
• Errores con el ángulo de referencia: el ángulo de referencia se mide siempre respecto al eje $x$ (no al eje $y$), y siempre es positivo y agudo.