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Calculadora de integrales triples

Evalúa integrales triples en coordenadas rectangulares, cilíndricas o esféricas con soluciones paso a paso impulsadas por IA
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

¿Qué es una integral triple?

Una integral triple extiende el concepto de integral simple y doble a tres dimensiones. Para una función f(x,y,z)f(x, y, z) definida en una región sólida E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

da la acumulación total de ff sobre EE. El elemento infinitesimal de volumen dVdV se convierte en dx dy dzdx\,dy\,dz en coordenadas cartesianas, pero puede reescribirse según la geometría de EE.

Significados físicos comunes:

  • Si f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, la integral da el volumen de EE.
  • Si f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) es una densidad, da la masa total.
  • Los momentos, los centros de masa y los momentos de inercia son todos integrales triples de funciones de densidad ponderadas.

La clave para evaluar una integral triple es elegir el sistema de coordenadas adecuado y plantear correctamente los límites.

Cómo plantear y evaluar integrales triples

Paso 1: Elige las coordenadas

Geometría de la regiónMejores coordenadasElemento de volumen
Caja / generalRectangulares (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Simetría cilíndricaCilíndricas (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Simetría esféricaEsféricas (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Paso 2: Plantea los límites

Proyecta la región sobre un plano coordenado para determinar el orden de integración. Para un sólido de tipo I acotado por arriba por z=g2(x,y)z = g_2(x,y) y por abajo por z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Paso 3: Evalúa de forma iterada

Integra primero la más interior, tratando las variables exteriores como constantes. Luego procede hacia afuera.

Coordenadas cilíndricas

Usa las sustituciones x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

El factor adicional rr proviene del determinante jacobiano.

Coordenadas esféricas

Usa x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

El jacobiano ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi es crucial: olvidarlo es el error más común.

Errores comunes que debes evitar

  • Olvidar el jacobiano: En cilíndricas hay un factor rr, en esféricas ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Omitirlo da una respuesta incorrecta siempre.
  • Orden de límites incorrecto: Los límites más interiores pueden depender de las variables exteriores, pero los más exteriores deben ser constantes. Invertir esto genera disparates.
  • Errores de signo con sin⁡φ\sin\varphi: En esféricas, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (así que sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Usar φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] es incorrecto.
  • Mezclar convenciones: Algunos libros usan φ\varphi para el ángulo polar (desde el eje z), otros para el ángulo azimutal. Sé coherente con una sola convención.
  • No dibujar la región: Para sólidos no triviales, un dibujo rápido te ahorra límites imposibles.

Examples

Step 1: Plantea la integral iterada: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Integra respecto de zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Integra respecto de yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Integra respecto de xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: En esféricas: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volumen = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Interior: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Intermedia: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Exterior: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Producto: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Cambia a cilíndricas: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Integral = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Interior: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Intermedia: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Exterior: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Usa cilíndricas cuando la región tiene simetría de rotación alrededor del eje z pero no una estructura radial especial (cilindros, paraboloides, conos sobre/bajo un disco). Usa esféricas cuando la región está acotada por esferas, conos desde el origen, o tiene simetría radial 3D completa (bolas, cascarones esféricos).

El jacobiano es el determinante que ajusta el elemento de volumen al cambiar de coordenadas. En cilíndricas es igual a r, en esféricas es igual a ρ² sin φ. Sin él, la integral mide el volumen equivocado.

Observa la región: integra primero la variable cuyos límites dependen de las demás (la más interior), luego avanza hacia afuera. La variable más exterior debe tener límites constantes. Si un orden lleva a límites complicados, intercámbialo usando un dibujo de la región.

Sí, si el integrando puede ser negativo. Para cálculos de volumen el integrando es 1 y el resultado es siempre positivo. Para magnitudes físicas como flujo con signo o fuerza neta, los valores negativos son posibles y significativos.

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