Calculadora de integrales

Una integral es un concepto fundamental del cálculo que representa la acumulación de cantidades. Hay dos tipos principales:

Integral indefinida (antiderivada)

La integral indefinida de $f(x)$ es una familia de funciones $F(x) + C$ tal que $F'(x) = f(x)$:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

donde $C$ es la constante de integración.

Integral definida

La integral definida calcula el área neta con signo bajo la curva $f(x)$ desde $a$ hasta $b$:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Esta relación se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta la derivación y la integración.

Geométricamente, la integral definida representa el área entre la función y el eje $x$ sobre el intervalo $[a, b]$. Las áreas por encima del eje son positivas y las que están por debajo son negativas.

Las integrales tienen amplias aplicaciones en física (trabajo, desplazamiento), ingeniería (procesamiento de señales), probabilidad (valores esperados) y economía (excedente del consumidor).

Reglas básicas de integración

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

Método 1: Sustitución (sustitución por u)

Se usa cuando el integrando contiene una función compuesta. Sea $u = g(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

Ejemplo: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. Sea $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, así que la integral queda $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$.

Método 2: Integración por partes

Basada en la regla del producto para derivadas:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Elige $u$ y $dv$ usando la regla LIATE (Logarítmica, Inversa trig, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial).

Ejemplo: $\int x \cdot e^x\,dx$. Sea $u = x$, $dv = e^x\,dx$. Entonces $du = dx$, $v = e^x$. Resultado: $xe^x - e^x + C$.

Método 3: Fracciones parciales

Para funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$, descompón en fracciones más simples:

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

Método 4: Sustitución trigonométrica

Para integrandos que contienen $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$:

Comparación de métodos

• Olvidar la constante de integración: Toda integral indefinida debe incluir $+ C$. La antiderivada es una familia de funciones.
• Aplicación incorrecta de la regla de la potencia: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$, no $\frac{x^0}{0}$. La regla de la potencia $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ no se aplica cuando $n = -1$.
• Errores de signo con integrales trigonométricas: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (signo negativo). $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (signo positivo).
• Olvidar deshacer la sustitución: Al usar la sustitución por $u$, convierte siempre la respuesta final de vuelta a la variable original $x$.
• Límites incorrectos en integrales definidas: Al usar sustitución en integrales definidas, o cambia los límites para que coincidan con la nueva variable o deshaz la sustitución antes de evaluar.