Calculadora de derivadas parciales

Una derivada parcial mide cómo cambia una función multivariable respecto de una variable mientras las demás se mantienen fijas. Para $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

La notación $\partial$ (d redondeada) distingue las derivadas parciales de las derivadas ordinarias $\frac{d}{dx}$. Notaciones equivalentes incluyen $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Significado geométrico: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ es la pendiente de la superficie $z = f(x,y)$ en $(a,b)$ en la dirección $x$; la recta tangente está en el plano $y = b$.

Por qué importa: el descenso de gradiente, la optimización, la propagación de errores y gran parte del cálculo vectorial se basan en derivadas parciales. El gradiente $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ apunta en la dirección de máximo crecimiento.

Regla 1: Trata las demás variables como constantes

Para hallar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trata $y, z, \ldots$ como constantes y deriva $f$ como una función de una sola variable en $x$.

Ejemplo: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (el $3y$ desaparece porque no tiene $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ actúa como coeficiente)

Regla 2: La regla de la cadena y la del producto siguen aplicándose

Para $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

La $y$ dentro del paréntesis se trata como un coeficiente constante al derivar $xy$ respecto de $x$.

Parciales de orden superior

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Teorema de Clairaut (parciales mixtas): si $f$ tiene segundas parciales continuas, entonces $f_{xy} = f_{yx}$. El orden de derivación no importa.

Gradiente y derivada direccional

El gradiente es el vector de todas las primeras parciales:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

La derivada direccional en la dirección $\mathbf{u}$ (vector unitario) es:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Máxima cuando $\mathbf{u}$ apunta a lo largo de $\nabla f$: esa es la dirección de máximo crecimiento.

Regla de la cadena (multivariable)

Si $z = f(x, y)$ y $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Derivar la variable equivocada: Identifica siempre qué variable está 'activa' y cuáles se mantienen constantes. Subrayar la variable activa en tus apuntes ayuda.
• Olvidar la regla de la cadena: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, no solo $\cos(xy)$.
• Confundir la notación: $f_{xy}$ significa derivar primero respecto de $x$, luego respecto de $y$ (algunos libros invierten esto; comprueba la convención).
• Dirección del gradiente equivocada: $\nabla f$ apunta en la dirección de máximo crecimiento, no de movimiento. Para minimizar, muévete en sentido opuesto a $\nabla f$.
• Mezclar derivadas parciales y totales: Cuando $x$ e $y$ dependen ambas de $t$, usa la regla de la cadena, no $\partial f/\partial t$, que es cero si $f$ no contiene $t$ de forma explícita.