Calculadora de series de Taylor

Una serie de Taylor representa una función como un polinomio infinito construido a partir de las derivadas de la función en un único punto $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Cuando $a = 0$, la serie se llama serie de Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Por qué importa: las series de Taylor convierten cálculos sobre funciones posiblemente difíciles ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) en cálculos sobre polinomios, que tanto los ordenadores como las personas pueden manejar. Son la base de los métodos numéricos, los desarrollos asintóticos y la teoría de la aproximación.

El polinomio de Taylor de grado $n$ es la suma parcial que conserva los términos hasta $(x-a)^n$. Es la mejor aproximación polinómica de $f$ cerca de $a$ en un sentido preciso (coincide en el valor y en las primeras $n$ derivadas).

Paso 1: Calcula las derivadas en el punto de desarrollo

Para $f(x)$ y el punto de desarrollo $a$, calcula $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Paso 2: Sustituye en la fórmula

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Series de Maclaurin comunes que conviene memorizar

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Radio de convergencia

Una serie de Taylor converge solo dentro de un radio de convergencia $R$ alrededor de $a$. Hállalo usando el criterio del cociente:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Fuera de este radio, la serie diverge y no representa a la función. Dentro, la convergencia suele ser uniforme en subconjuntos compactos.

Manipular series conocidas

Para mayor rapidez, sustituye, deriva o integra series conocidas en lugar de calcular las derivadas desde cero:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (sustituye $-x^2$ en $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Olvidar el factorial: El término $n$-ésimo tiene un $\frac{1}{n!}$, no solo la derivada. Omitirlo da una respuesta totalmente equivocada.
• Usar la serie fuera de su radio de convergencia: $\frac{1}{1-x}$ no es igual a $\sum x^n$ cuando $|x| > 1$: la serie diverge ahí.
• Olvidar centrar en $a$: Una serie de Taylor alrededor de $a$ usa potencias de $(x-a)$, no de $x$.
• Confundir grado y número de términos: Un polinomio de Taylor de grado $n$ tiene $n+1$ términos (grados de $0$ a $n$).
• Errores de signo en la sustitución: $\sin(-x) = -\sin(x)$, así que la serie de $\sin(-x)$ tiene los signos alternados invertidos respecto a $\sin(x)$.