Calculadora de integrales dobles

Una integral doble calcula la acumulación de una función $f(x, y)$ sobre una región bidimensional $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

donde $dA$ es el elemento infinitesimal de área. En coordenadas cartesianas $dA = dx\,dy$; en coordenadas polares $dA = r\,dr\,d\theta$.

Significados físicos comunes:

• $f(x,y) = 1$ da el área de $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (función altura) da el volumen bajo la superficie $z = h(x,y)$ sobre $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (densidad superficial) da la masa de una placa delgada.

Las habilidades clave son: elegir las coordenadas, plantear los límites y evaluar como integrales simples iteradas usando el teorema de Fubini.

Teorema de Fubini

Para una función continua $f$ sobre un rectángulo $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Cualquier orden funciona, así que elige el que sea más fácil de integrar.

Regiones de tipo I y tipo II

Tipo I ($y$ acotada por curvas de $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Tipo II ($x$ acotada por curvas de $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Coordenadas polares

Para regiones con simetría circular, usa $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

El factor $r$ proveniente del jacobiano es esencial: olvidarlo es el error más común.

Cuándo cambiar el orden de integración

Si una integral interior se vuelve intratable (por ejemplo, $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene antiderivada elemental), cambiar el orden de integración a menudo hace el problema resoluble. Dibuja primero la región para hallar límites equivalentes en el otro orden.

• Orden de límites incorrecto: Los límites interiores pueden depender de las variables exteriores, pero los límites exteriores deben ser constantes. Invertidos = respuesta incorrecta.
• Olvidar el jacobiano polar: $dA = r\,dr\,d\theta$, no $dr\,d\theta$.
• No dibujar la región: Para una $D$ no rectangular, un dibujo hace evidente si es de tipo I o tipo II.
• Intentar integrar funciones interiores imposibles: Si te topas con $\int e^{x^2}\,dx$ o un integrando no elemental similar, intercambia el orden antes de rendirte.
• Errores de signo con integrandos negativos: Si $f$ cambia de signo sobre $D$, la integral doble puede ser cero; eso es correcto, no un error que haya que 'arreglar'.