Calculadora de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona una función con sus derivadas. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) involucra una función de una sola variable:

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

El orden de una ED es la derivada de mayor orden que aparece. El grado es la potencia de la derivada de mayor orden (cuando la ecuación es polinómica en las derivadas).

EDO de primer orden: $y' = f(x, y)$

EDO de segundo orden: $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

Una solución es una función $y(x)$ que satisface la ecuación en algún intervalo. La solución general contiene constantes arbitrarias (una por cada orden). Un problema de valor inicial (PVI) especifica condiciones como $y(x_0) = y_0$ para determinar una solución particular única.

Las ecuaciones diferenciales modelan fenómenos del mundo real: crecimiento poblacional, desintegración radiactiva, sistemas masa-resorte, circuitos eléctricos, conducción del calor y flujo de fluidos.

Método 1: Separación de variables

Para ecuaciones de la forma $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$:

1. Separa: $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. Integra ambos lados: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

Ejemplo: $\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

Método 2: Factor integrante (lineal de primer orden)

Para $y' + P(x)y = Q(x)$, multiplica por el factor integrante $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$:

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

Luego integra ambos lados para hallar $y$.

Ejemplo: $y' + 2y = e^{-x}$. Aquí $P(x) = 2$, así que $\mu = e^{2x}$. Multiplica: $(e^{2x}y)' = e^{x}$. Integra: $e^{2x}y = e^x + C$, por lo que $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Método 3: Ecuación característica (coeficientes constantes)

Para $ay'' + by' + cy = 0$, resuelve la ecuación característica $ar^2 + br + c = 0$:

Método 4: Coeficientes indeterminados

Para $ay'' + by' + cy = g(x)$ donde $g(x)$ es un polinomio, una exponencial, un seno, un coseno o una combinación:

1. Halla la solución general de la ecuación homogénea
2. Propón una forma de solución particular según $g(x)$
3. Sustituye y resuelve para los coeficientes
4. Solución general = homogénea + particular

Método 5: Variación de parámetros

Un método general para $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ cuando se conocen las soluciones homogéneas $y_1, y_2$:

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

donde $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ es el wronskiano.

Comparación de métodos

• Olvidar la constante de integración: En la separación de variables, la constante debe incluirse antes de despejar $y$, ya que afecta a la forma final de la solución.
• Factor integrante incorrecto: El factor integrante para $y' + P(x)y = Q(x)$ es $e^{\int P(x)\,dx}$. Asegúrate de que la ecuación esté en forma estándar (el coeficiente de $y'$ debe ser 1) antes de identificar $P(x)$.
• Omitir el caso de raíz repetida: Cuando la ecuación característica tiene una raíz repetida $r$, la segunda solución es $xe^{rx}$, no simplemente $e^{rx}$ de nuevo.
• Propuesta de solución particular equivocada: Si tu propuesta para $y_p$ ya es una solución de la ecuación homogénea, multiplica por $x$ (o por $x^2$ si es necesario) para obtener una forma válida.
• Ignorar las condiciones iniciales: La solución general tiene constantes arbitrarias. Aplica las condiciones iniciales solo después de hallar la solución general completa.