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Calculadora de series

Analiza la convergencia, calcula sumas y desarrolla series de Taylor/Maclaurin con soluciones paso a paso

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

¿Qué es una serie?

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Una serie infinita tiene la forma:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Las sumas parciales son SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite finito SS, decimos que la serie converge y ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. En caso contrario, la serie diverge.

Serie geométrica: La serie ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n converge a a1−r\frac{a}{1-r} cuando ∣r∣<1|r| < 1.

Serie p: La serie ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} converge cuando p>1p > 1 y diverge cuando p≤1p \leq 1.

Serie de potencias: Una serie de la forma ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n que representa una función dentro de su radio de convergencia.

Serie de Taylor: El desarrollo en serie de potencias de f(x)f(x) alrededor de x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Cuando a=0a = 0, se llama serie de Maclaurin.

Cómo determinar la convergencia

Criterio de divergencia (criterio del término n-ésimo)

Si lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, la serie diverge. Nota: si el límite es 0, el criterio no es concluyente.

Criterio del cociente

Calcula L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • Si L<1L < 1: converge absolutamente
  • Si L>1L > 1: diverge
  • Si L=1L = 1: no concluyente

Criterio de la raíz

Calcula L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Las mismas reglas de conclusión que el criterio del cociente.

Criterio de la integral

Si f(n)=anf(n) = a_n donde ff es positiva, continua y decreciente para x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an converge  ⟺  ∫1∞f(x) dx converge\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converge}

Criterio de comparación

Si 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n para todo nn:

  • Si ∑bn\sum b_n converge, entonces ∑an\sum a_n converge
  • Si ∑an\sum a_n diverge, entonces ∑bn\sum b_n diverge

Criterio de las series alternadas (criterio de Leibniz)

La serie alternada ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n converge si:

  1. bn>0b_n > 0 para todo nn
  2. bnb_n es decreciente
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

Series de Taylor/Maclaurin comunes

FunciónSerie de MaclaurinRadio
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

Cómo elegir el criterio adecuado

CriterioIdeal paraIndicador clave
DivergenciaEliminación rápidaLos términos claramente no tienden a 0
CocienteFactoriales, exponencialesn!n! o rnr^n en los términos
RaízPotencias n-ésimasan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
IntegralFunciones decrecientes simplesan=f(n)a_n = f(n) fácil de integrar
ComparaciónTérminos parecidos a series conocidasSe parece a serie p o geométrica
AlternadasSeries con signo alternadoFactor (−1)n(-1)^n

Errores comunes que debes evitar

  • Usar mal el criterio de divergencia: Si lim⁡an=0\lim a_n = 0, esto NO demuestra la convergencia. La serie armónica ∑1/n\sum 1/n diverge aunque 1/n→01/n \to 0.
  • Aplicar el criterio del cociente cuando L = 1: Cuando el límite del cociente es igual a 1, el criterio no da información. Debes usar otro criterio.
  • Confundir convergencia absoluta y condicional: Una serie puede converger condicionalmente (como la serie armónica alternada) sin converger absolutamente.
  • Radio de convergencia equivocado: No olvides comprobar los extremos por separado al hallar el intervalo de convergencia.
  • Resto de la serie de Taylor: El polinomio de Taylor es solo una aproximación; para un número finito de términos hay un término de resto cuya cota importa para la precisión.

Examples

Step 1: Aplica el criterio del cociente: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1, así que la serie converge
Step 3: Para hallar la suma, usa la fórmula ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} con x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: Parte de la serie geométrica: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n para ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: Sustituye t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: Simplifica: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots para ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, válida para ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: Esta es una serie alternada con bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: Comprueba: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n es decreciente ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: Por el criterio de las series alternadas, la serie converge (condicionalmente, ya que ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} diverge como serie p con p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: La serie converge condicionalmente

Frequently Asked Questions

Una serie converge si sus sumas parciales se aproximan a un número finito a medida que añades más términos. Una serie diverge si las sumas parciales crecen sin cota u oscilan sin estabilizarse en un valor.

Las series de Taylor se usan para aproximar funciones complicadas con polinomios, lo que las hace más fáciles de calcular, derivar o integrar. Son fundamentales en física, ingeniería y análisis numérico para aproximar funciones cerca de un punto específico.

El radio de convergencia R es la distancia desde el centro de una serie de potencias dentro de la cual la serie converge. Para |x - a| < R la serie converge absolutamente, para |x - a| > R diverge, y en |x - a| = R debes comprobar los extremos individualmente.

No. La serie armónica, que es la suma de 1/n desde n=1 hasta infinito, diverge. Aunque los términos tienden a cero, no decrecen lo bastante rápido para que la suma se mantenga finita. Este es un ejemplo clásico que muestra que los términos tendiendo a cero es necesario pero no suficiente para la convergencia.

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