Calculadora de valor absoluto

El valor absoluto de un número real $x$, escrito $|x|$, es su distancia a $0$ en la recta numérica:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

Propiedades clave:

• $|x| \geq 0$ para todo $x$, con igualdad si y solo si $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (multiplicativo).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (desigualdad triangular).
• $|x|^2 = x^2$, por lo que $|x| = \sqrt{x^2}$.

Interpretación geométrica: $|a - b|$ es la distancia entre los números $a$ y $b$ en la recta numérica. Por eso las inecuaciones con valor absoluto se traducen claramente en enunciados sobre distancias.

El valor absoluto se extiende a los números complejos ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) y a los vectores (norma euclidiana), pero aquí nos centramos en el caso de valor real que se usa en la mayoría de las tareas.

Tipo 1: Ecuación de valor absoluto

$|f(x)| = c$ donde $c$ es una constante.

• Si $c < 0$: sin solución (el valor absoluto nunca puede ser negativo).
• Si $c = 0$: resuelve $f(x) = 0$.
• Si $c > 0$: divide en dos casos: $f(x) = c$ o $f(x) = -c$. Resuelve cada uno y conserva todas las soluciones válidas.

Ejemplo: $|2x - 3| = 7$ se divide en $2x - 3 = 7$ o $2x - 3 = -7$, dando $x = 5$ o $x = -2$.

Tipo 2: Inecuación de tipo «menor que»

$|f(x)| < c$ (o $\leq$) donde $c > 0$.

Equivale a: $-c < f(x) < c$ (una inecuación compuesta, Y).

Significado geométrico: $f(x)$ está a una distancia menor que $c$ de $0$.

Ejemplo: $|2x + 1| < 7$ se convierte en $-7 < 2x + 1 < 7$, dando $-4 < x < 3$.

Si $c \leq 0$, no hay solución (o solo $f(x) = 0$ si $c = 0$).

Tipo 3: Inecuación de tipo «mayor que»

$|f(x)| > c$ (o $\geq$) donde $c \geq 0$.

Equivale a: $f(x) < -c$ o $f(x) > c$ (una disyunción, O).

Ejemplo: $|3x - 6| \geq 9$ se convierte en $3x - 6 \leq -9$ o $3x - 6 \geq 9$, dando $x \leq -1$ o $x \geq 5$.

Si $c < 0$, todo número real satisface la inecuación.

Caso complicado: valor absoluto en ambos lados

$|f(x)| = |g(x)|$ se divide en $f(x) = g(x)$ o $f(x) = -g(x)$.

Verificar las soluciones

Sustituye siempre en la ecuación original. Elevar al cuadrado o dividir en casos puede introducir soluciones extrañas en algunos contextos.

• Omitir el caso negativo: $|x| = 5$ tiene dos soluciones, $x = 5$ y $x = -5$. Los principiantes a menudo solo escriben la positiva.
• Usar Y y O al revés: $|x| < c$ usa Y (entre $-c$ y $c$); $|x| > c$ usa O (menor que $-c$ o mayor que $c$). Intercambiarlos da respuestas incorrectas.
• Olvidar que $c$ debe ser no negativo: $|f(x)| = -3$ no tiene solución porque $|f(x)| \geq 0$ siempre.
• Confusión de signos en el caso negativo: $|2x - 3| = 7$ da $2x - 3 = -7$, no $-(2x) - 3 = 7$. Niega la expresión completa igualada a $-c$.
• Pasar por alto soluciones extrañas: Tras resolver, sustituye siempre en la ecuación original. Si la estructura del valor absoluto dependía de que $f(x)$ fuera no negativo, compruébalo.