Resolvedor de sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones (también llamado ecuaciones simultáneas) es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables que deben satisfacerse todas a la vez. La solución es el conjunto de valores que hace verdadera cada ecuación simultáneamente.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Geométricamente, cada ecuación representa una recta en el plano. La solución es el punto donde las rectas se cortan.

Un sistema puede tener:

• Una solución única: Las rectas se cortan en exactamente un punto (consistente e independiente).
• Ninguna solución: Las rectas son paralelas (inconsistente).
• Infinitas soluciones: Las rectas son idénticas (consistente y dependiente).

Los sistemas de ecuaciones aparecen en innumerables aplicaciones: problemas de mezclas, análisis de circuitos, equilibrio de oferta y demanda, flujo de tráfico y optimización. Los sistemas más grandes con 3+ variables surgen en ingeniería y ciencia de datos.

1. Método de sustitución

Despeja una variable en una ecuación y luego sustitúyela en la otra ecuación.

Ejemplo: Resuelve $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. De la ecuación 1: $x = y + 1$
2. Sustituye en la ecuación 2: $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. Sustituye de vuelta: $x = 1 + 1 = 2$

2. Método de eliminación

Suma o resta ecuaciones para eliminar una variable.

Ejemplo: Resuelve $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. Multiplica la ecuación 2 por 3: $3x - 3y = 3$
2. Súmala a la ecuación 1: $5x = 10$ → $x = 2$
3. Sustituye de vuelta: $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. Método matricial (eliminación gaussiana)

Escribe el sistema como una matriz aumentada y reduce por filas:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. Regla de Cramer

Para un sistema $2 \times 2$, si $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. Representación gráfica

Grafica cada ecuación e identifica el punto de intersección.

• Sustitución incorrecta: Al sustituir una expresión, reemplaza la variable en todas partes donde aparezca y usa paréntesis.
• Multiplicar solo parte de una ecuación: Al multiplicar para eliminar, hay que multiplicar todos los términos (incluida la constante).
• Perder el control de los signos: Ten especial cuidado con los coeficientes negativos durante la eliminación.
• Declarar prematuramente que no hay solución: Obtener $0 = 0$ significa infinitas soluciones (sistema dependiente), no que no haya solución. Solo $0 = c$ (donde $c \neq 0$) significa que no hay solución.
• Olvidar hallar todas las variables: Tras hallar una variable, sustituye siempre de vuelta para hallar las demás.