Los límites son la puerta de entrada al cálculo y, por desgracia, también el punto donde la mayoría de los estudiantes se rinden. La verdad es que la mayoría de los límites son fáciles: la sustitución directa funciona. La minoría restante sigue un pequeño puñado de técnicas. Esta guía te las explica en dificultad creciente para que reconozcas a primera vista qué método aplicar.

Qué significa realmente un límite

La notación $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dice: cuando $x$ se acerca arbitrariamente a $a$ (por cualquiera de los dos lados), $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ . La función no necesita estar definida en $a$ , e incluso si lo está, $f(a)$ no tiene por qué ser igual a $L$ .

Este último punto es lo que hace útiles a los límites. Nos permiten hablar del comportamiento de "aproximación" donde la función podría no estar definida o dar un salto.

Método 1: Sustitución directa (funciona ~70% de las veces)

Si $f$ es continua en $a$ , entonces $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Sustituye. Listo.

Ejemplo: $\lim_{x \to 3}(x^2 + 2x - 1) = 9 + 6 - 1 = 14$ .

Polinomios, funciones racionales (donde el denominador es no nulo), exp, sin, cos, ln (en su dominio): todas continuas, todas se resuelven por sustitución.

Método 2: Factorizar y cancelar (para la forma indeterminada 0/0)

Si la sustitución directa da $\frac{0}{0}$ , intenta factorizar numerador y denominador.

Ejemplo: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Directa: $\frac{0}{0}$ ❌
Factoriza: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ .
Cancela: $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$ .

El factor cancelado causaba el $0/0$ original; una vez que desaparece, sustituye.

Método 3: Racionalizar (cuando la factorización falla con radicales)

Para límites con raíces cuadradas que dan $0/0$ , multiplica por el conjugado.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ .

Multiplica por $\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$ : el numerador se convierte en $(x+1) - 1 = x$ .
Cancela $x$ : $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$ .

Método 4: Límites en el infinito

Para funciones racionales cuando $x \to \infty$ , divide cada término entre la mayor potencia de $x$ del denominador.

Ejemplo: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - 5}$ .

Divide numerador y denominador entre $x^2$ : $\frac{3 + 2/x - 1/x^2}{2 - 5/x^2}$ .
Cuando $x \to \infty$ , los términos $1/x$ y $1/x^2$ tienden a $0$ .
Límite: $\frac{3}{2}$ .

Regla práctica: para $\frac{p(x)}{q(x)}$ cuando $x \to \infty$ :

Si $\deg p < \deg q$ → el límite es $0$ .
Si $\deg p = \deg q$ → el límite es la razón de los coeficientes principales.
Si $\deg p > \deg q$ → el límite es $\pm\infty$ .

Método 5: El límite trigonométrico fundamental

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Esta es la versión trigonométrica de $\frac{0}{0}$ . Combinada con $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ , resuelve la mayoría de los límites trigonométricos introductorios.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$ .

Método 6: La regla de L'Hôpital

Cuando 0/0 o ∞/∞ no se resuelven con álgebra, la regla de L'Hôpital te permite derivar el numerador y el denominador por separado:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad (\text{solo formas indeterminadas})$

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$ . ✓ (Misma respuesta, deducción más rápida.)

¿Qué es la continuidad?

Una función $f$ es continua en $a$ si se cumplen tres condiciones:

$f(a)$ está definida.
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
Ambas son iguales: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Discontinuidades comunes:

Evitable (un agujero): puede "arreglarse" redefiniendo $f(a)$ .
De salto: los límites por la izquierda y por la derecha difieren.
Infinita: asíntota vertical.

La continuidad es el requisito previo para los teoremas más poderosos del cálculo: el teorema del valor intermedio, el teorema del valor extremo y la propia definición de derivabilidad.

Errores comunes

Suponer que el límite es igual al valor de la función. Límites y valores son conceptos distintos; $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ aunque la función no esté definida en $x = 0$ .
Aplicar L'Hôpital a formas no indeterminadas. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x + 1}{x + 1}$ no es $\frac{0}{0}$ : la sustitución directa da $1$ , sin más.
Separar límites incorrectamente. $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ solo si ambos límites individuales existen.
Olvidar los límites laterales. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ pero $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ : el límite bilateral no existe.

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