Una función $f$ es continua en $x = a$ si se cumplen tres condiciones:

$f(a)$ está definida,
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe, y
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Intuitivamente: puedes dibujar la gráfica a través de ese punto sin levantar el lápiz. Las discontinuidades comunes son evitables (un hueco), de salto (los límites por la izquierda y por la derecha difieren) e infinitas (asíntota vertical).

La continuidad es el requisito básico de la mayoría de los teoremas del cálculo. El teorema del valor intermedio afirma que las funciones continuas toman todos los valores entre dos salidas cualesquiera. El teorema del valor extremo garantiza que las funciones continuas en un intervalo cerrado alcanzan un máximo y un mínimo. La diferenciabilidad exige continuidad, pero la continuidad no implica diferenciabilidad: $|x|$ es continua en todas partes y, sin embargo, no es diferenciable en $0$ .

Continuidad

Una función es continua en un punto si su valor allí coincide con el límite de sus valores cuando las entradas se aproximan a dicho punto, sin saltos, huecos ni asíntotas.