Atajos de límites

Límite estándar (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Base de todos los límites trigonométricos.

Regla de L'Hôpital

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Úsala cuando el límite sea $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ .

Reglas de derivación

Regla de la potencia

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Funciona para cualquier exponente real.

Regla del producto

$(fg)' = f'g + fg'$

Dos funciones multiplicadas: deriva cada una por turnos.

Regla del cociente

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Para cocientes; recuerda el orden $f'g$ antes de $fg'$ .

Regla de la cadena

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Primero la externa, luego la interna; la fuente de errores más común.

Derivadas comunes

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Observa el signo negativo.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

La única función de punto fijo.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Dominio $x > 0$ .

Tabla de integrales

Regla de la potencia (integral)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Inversa de la regla de la potencia de la derivación.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

La excepción $n=-1$ a la regla de la potencia.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Memoriza los signos: es fácil confundirlos.

Exponencial

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Igual que su derivada.

Series de Taylor / Maclaurin

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Converge para todo $x$ real.

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Solo potencias impares.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Solo potencias pares.

Cálculo Formulas