Integración por partes: una guía práctica con ejemplos

La integración por partes es la regla del producto al revés, y es la técnica de integración más usada después de la sustitución. La fórmula es corta, pero elegir qué parte es "u" y cuál es "dv" se convierte en un arte la primera vez que la ves. Esta guía recorre el atajo LIATE y cinco ejemplos de dificultad creciente, para que termines con un método fiable en lugar de prueba y error.

La fórmula

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Cambias una integral por otra que (con suerte) es más fácil. El arte está en elegir $u$ y $dv$: las malas elecciones hacen que la nueva integral sea más difícil.

LIATE: una regla práctica fiable

Al elegir $u$, prefiere las funciones que aparecen antes en esta lista:

Logarítmicas > Inversas trigonométricas > Algebraicas > Trigonométricas > Exponenciales

Lo que quede se convierte en $dv$. LIATE no es un teorema, pero funciona en ~90% de los problemas de libro de texto.

Ejemplo 1: $\int x e^x \, dx$ (algebraica × exponencial)

LIATE → algebraica antes que exponencial, así que $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Aplica: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Ejemplo 2: $\int x \ln x \, dx$ (algebraica × logarítmica)

LIATE → primero el logaritmo: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Simplifica: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Ejemplo 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (algebraica × trigonométrica — aplicar dos veces)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Entonces $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Primera pasada: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Segunda pasada sobre $\int 2x \cos x \, dx$: sea $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Entonces $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Combina: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Cuando ves un polinomio de grado $n$ multiplicado por $\sin/\cos/\exp$, espera aplicar la regla $n$ veces.

Ejemplo 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (el truco del bucle)

Ambos factores son candidatos igualmente "buenos": ninguno se simplifica al integrarlo o derivarlo. Aplica dos veces y observa cómo reaparece la integral original, luego despeja algebraicamente.

• Primera pasada: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Segunda pasada sobre la nueva integral: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Sustituye de vuelta: original $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ original.
• Despeja: $2 \cdot \text{original} = e^x (\cos x + \sin x)$, así que original $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Ejemplo 5: $\int \ln x \, dx$ (el caso "sin dv evidente")

Parece que no hay nada que integrar como $dv$. Truco: usa $dv = dx$ (el "$1$" de $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Este mismo truco sirve para $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ y similares.

Errores comunes

1. Errores de signo. La fórmula tiene un único signo menos: usa papel borrador para controlar los $+/-$.
2. Elegir mal $u$. Si la nueva integral es más difícil que la original, elegiste $u$ y $dv$ al revés. Intercámbialos.
3. Olvidar el "+ C" en las integrales indefinidas.
4. Usar partes cuando funcionaría la sustitución. La integración por partes es para productos que no encajan en un patrón de sustitución u. Si tienes $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, usa sustitución.

Pruébalo tú mismo

Introduce cualquier integral en la Calculadora de integrales y te mostraremos si la sustitución, las partes o las fracciones parciales son la jugada correcta, además de cada paso.

Para ejemplos resueltos concretos y temas relacionados:

• Ejemplo resuelto: ∫ x² dx
• Ejemplo resuelto: ∫ sin(x) dx
• Hoja de fórmulas de cálculo
• Domina la regla de la cadena — el primo de la derivación