La regla de la cadena: cuándo y cómo aplicarla (con ejemplos)

La regla de la cadena es la herramienta más usada en derivación, y también la mayor fuente de errores. Una vez que interiorizas el patrón "de fuera hacia dentro", puedes derivar casi cualquier función compuesta en tres líneas. Esta guía te muestra el patrón, recorre siete ejemplos cada vez más difíciles y enumera los cuatro errores que vale la pena memorizar de antemano.

Qué dice la regla de la cadena

Si $f$ y $g$ son derivables, la derivada de la composición $f(g(x))$ es

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

En palabras: deriva la función externa evaluada en la interna, luego multiplica por la derivada de la interna. Las etiquetas "externa" e "interna" no son negociables: confundirlas invierte la respuesta.

Una regla mnemotécnica útil: la regla de la cadena es "la derivada externa por la derivada interna", nunca más, nunca solo una.

Ejemplos resueltos (fácil → difícil)

Ejemplo 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Externa: $\sin(u)$, interna: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Resultado: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Ejemplo 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Externa: $e^u$, interna: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Resultado: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Ejemplo 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Externa: $u^4$, interna: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Resultado: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Ejemplo 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Externa: $\ln u$, interna: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Resultado: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Ejemplo 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Reescribe como $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Externa: $u^{1/2}$, interna: $u = x^2 + 1$.
• Derivada externa: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Interna: $2x$.
• Resultado: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Ejemplo 6: cadena anidada — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Tres capas: aplica la regla de la cadena dos veces.

• La más externa: $\sin(u)$, interna $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (regla de la cadena en $\cos(x^2)$).
• Resultado: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Ejemplo 7: cadena + regla del producto juntas — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Usa primero la regla del producto: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, por la regla de la cadena $g' = 3\cos(3x)$.
• Resultado: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Los cuatro errores que vale la pena memorizar

1. Olvidar la derivada interna. Escribir $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ es el error de regla de la cadena más común. El factor $2$ es obligatorio.
2. Derivar lo interno antes de sustituir. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ no es $4(6x)^3$. La derivada externa se evalúa en la expresión interna, no en la derivada interna.
3. Confundir función anidada con producto. $\sin(2x)$ es una composición, no un producto. Usa la regla de la cadena, no la del producto.
4. Agrupar mal las potencias trigonométricas. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$: la externa es $u^2$, la interna es $\sin x$. Se confunde fácilmente con $\sin(x^2)$, donde la externa es $\sin$ y la interna es $x^2$.

Cuando te atascas: el truco de la sustitución

Pon $u = \text{(la parte interna)}$, halla $\frac{dy}{du}$ y $\frac{du}{dx}$, multiplica. Aunque la función parezca intimidante, esta sustitución mecánica siempre funciona.

Pruébalo tú mismo

Pega cualquier función compuesta en nuestra Calculadora de derivadas gratuita y observa cada aplicación de la regla de la cadena paso a paso. Combínala con nuestra sección de chuleta de la regla de la cadena para consultarla rápido durante los deberes.

Para material relacionado más profundo:

• Calculadora de límites — los límites alimentan el fundamento de la regla de la cadena
• Calculadora de integrales — la sustitución es la regla de la cadena al revés
• Ejemplo resuelto: derivada de sin(2x)
• Ejemplo resuelto: derivada de e^(2x)