Z 分數計算機

z 分數（也稱為標準分數）衡量一個值偏離平均數多少個標準差：

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

其中 $x$ 為原始值，$\mu$ 為母體平均數，$\sigma$ 為母體標準差。

詮釋：

• $z = 0$：該值等於平均數。
• $z = 1$：高於平均數一個標準差。
• $z = -2$：低於平均數兩個標準差。
• 慣例上 $|z| > 2$ 為「不尋常」；$|z| > 3$ 為「極端」。

為什麼要標準化？

• 可比較性：z 分數讓你能比較來自不同分配的值（例如 SAT 數學測驗的 $z = 1.5$ 與語文測驗的 $z = 1.5$ 表示相同的相對表現）。
• 機率查表：若底層分配近似常態，$z$ 可透過標準常態 CDF $\Phi(z)$ 直接對應到一個機率。
• 離群值偵測：大的 $|z|$ 標示出潛在離群值。

樣本版本：使用樣本資料時，將 $\mu$ 換成 $\bar{x}$、$\sigma$ 換成 $s$：

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

逐步說明

1. 辨識值 $x$、平均數 $\mu$（或 $\bar{x}$）與標準差 $\sigma$（或 $s$）。
2. 減去平均數：$x - \mu$。
3. 除以標準差：$z = (x - \mu)/\sigma$。

反向：由 $z$ 求 $x$

$x = \mu + z\sigma$

當給定百分位並要求對應的原始值時很有用。

透過標準常態求機率

對於常態分配變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，標準化變數 $Z = (X - \mu)/\sigma$ 服從標準常態 $N(0, 1)$。

常見機率：

對稱性：$P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$。

經驗法則（68-95-99.7）

對於常態分配：

• 約 68% 的值落在平均數的 $\pm 1\sigma$ 內。
• 約 95% 落在 $\pm 2\sigma$ 內。
• 約 99.7% 落在 $\pm 3\sigma$ 內。

這是信賴區間與許多快速估計的基礎。

信賴區間的臨界 Z 值

這些是使得 $P(-z^* < Z < z^*) =$ 信賴水準的 $z^*$ 值。

• 順序錯誤：$z = (x - \mu)/\sigma$，而非 $(\mu - x)/\sigma$。把平均數放在後面會使正負號顛倒。
• 用變異數而非標準差：除以 $\sigma$，而非 $\sigma^2$。「偏離一個變異數」毫無意義——你要的是一個標準差。
• 樣本 vs 母體：使用樣本資料時，用 $\bar{x}$ 與 $s$。已知參數時，用 $\mu$ 與 $\sigma$。混為一談會使 z 分數膨脹／縮減。
• 未檢查便假設常態：z 分數可對任意分配計算，但機率查表 $\Phi(z)$ 只在底層分配為常態（或因中央極限定理近似常態）時適用。
• 忘記正負號：$z = -2$ 表示「低於平均數」。報告為 $z = 2$ 會誤導方向。
• 混淆單尾與雙尾機率：$P(|Z| > 2)$ 是兩尾合計（$\approx 0.0456$）。$P(Z > 2)$ 是單尾（$\approx 0.0228$）。仔細看清題目。