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標準差計算機

以逐步解題計算標準差、變異數與平均數

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∑Math Input
4, 8, 6, 5, 3
10, 20, 30, 40, 50
2.5, 3.1, 4.7, 1.8

什麼是標準差？

標準差衡量資料值偏離平均數的散佈程度。低標準差表示資料點聚集在平均數附近；高標準差表示資料較為分散。

母體標準差

當你擁有整個母體的資料時使用：

σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}}

樣本標準差

當你擁有來自更大母體的樣本時使用（採用 n−1n-1 作為貝索校正）：

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

其中 μ\mu（或 xˉ\bar{x}）為平均數，NN（或 nn）為資料點的個數。

如何計算標準差

逐步流程

  1. 求平均數 xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
  2. 從每個資料點減去平均數：(xi−xˉ)(x_i - \bar{x})
  3. 將每個差值平方：(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
  4. 將所有平方差相加：∑(xi−xˉ)2\sum(x_i - \bar{x})^2
  5. 除以 nn（母體）或 n−1n-1（樣本）以得到變異數
  6. 開平方得到標準差

相關量數

量數公式意義
平均數xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}平均值
變異數s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}散佈的平方
標準差s=s2s = \sqrt{s^2}以原始單位表示的散佈

Examples

Step 1: 平均數：xˉ=4+8+6+5+35=265=5.2\bar{x} = \frac{4+8+6+5+3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2
Step 2: 平方差：(4−5.2)2=1.44(4-5.2)^2=1.44，(8−5.2)2=7.84(8-5.2)^2=7.84，(6−5.2)2=0.64(6-5.2)^2=0.64，(5−5.2)2=0.04(5-5.2)^2=0.04，(3−5.2)2=4.84(3-5.2)^2=4.84
Step 3: 總和：1.44+7.84+0.64+0.04+4.84=14.81.44+7.84+0.64+0.04+4.84 = 14.8
Step 4: 變異數：s2=14.85−1=3.7s^2 = \frac{14.8}{5-1} = 3.7
Step 5: 標準差：s=3.7≈1.924s = \sqrt{3.7} \approx 1.924
Answer: s≈1.924s \approx 1.924

Step 1: 平均數：μ=10+20+303=20\mu = \frac{10+20+30}{3} = 20
Step 2: 平方差：(10−20)2=100(10-20)^2=100，(20−20)2=0(20-20)^2=0，(30−20)2=100(30-20)^2=100
Step 3: 變異數：σ2=100+0+1003=2003≈66.67\sigma^2 = \frac{100+0+100}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67
Step 4: 標準差：σ=66.67≈8.165\sigma = \sqrt{66.67} \approx 8.165
Answer: σ≈8.165\sigma \approx 8.165

Frequently Asked Questions

母體標準差除以 N（資料點總數），而樣本標準差除以 n-1（貝索校正）以給出真實母體散佈的不偏估計。

高標準差表示資料點散佈在更廣的值域範圍內，意味著資料集中有更多變異性。

變異數是標準差的平方。它衡量與平均數的平均平方距離。標準差因使用與資料相同的單位而較利於詮釋。

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