平均數中位數眾數計算機

平均數、中位數與眾數是統計學中三大集中趨勢量數。它們各以不同方式描述資料集的中心。

平均數（算術平均）

平均數是所有值之和除以值的個數：

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

平均數對離群值敏感——單一非常大或非常小的值就能使平均數大幅偏移。

中位數

中位數是資料按遞增排序後的中間值。對於 $n$ 個資料點：

• 若 $n$ 為奇數：中位數 $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• 若 $n$ 為偶數：中位數 $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

中位數對離群值穩健，較適用於偏態分配。

眾數

眾數是出現最頻繁的值。資料集可以是：

• 單峰 — 一個眾數
• 雙峰 — 兩個眾數
• 多峰 — 兩個以上眾數
• 無眾數 — 所有值出現次數相同

這三個量數合在一起，能對資料集「中心」所在提供完整的描繪。

計算平均數

1. 將所有資料值相加：$\sum x_i$
2. 除以總個數 $n$
3. 結果：$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

加權平均：當各值有不同權重時：

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

計算中位數

1. 將資料按遞增順序排序
2. 計算值的個數 $n$
3. 若 $n$ 為奇數：中位數是位置 $\frac{n+1}{2}$ 的值
4. 若 $n$ 為偶數：中位數是位置 $\frac{n}{2}$ 與 $\frac{n}{2}+1$ 兩值的平均

計算眾數

1. 計算每個值的次數
2. 辨識次數最高的值
3. 若所有值都只出現一次，則無眾數

比較表

何時使用各量數

• 平均數：用於無極端離群值的常態分配資料（例如大班級的考試分數）。
• 中位數：用於偏態資料或存在離群值時（例如家戶所得）。
• 眾數：用於類別資料或找出最常見的值（例如最熱門的鞋號）。

平均數、中位數與眾數之間的關係

對於完全對稱的分配：平均數 $=$ 中位數 $=$ 眾數。

對於右偏分配：平均數 $>$ 中位數 $>$ 眾數。

對於左偏分配：平均數 $<$ 中位數 $<$ 眾數。

• 求中位數前忘記排序資料 — 中位數需要已排序的資料；用未排序資料會得到錯誤結果。
• 偏態資料混淆平均數與中位數 — 平均數會被離群值拉動，所以偏態分配中中位數是較佳的中心量數。
• 次數相同時宣稱「無眾數」 — 若多個值共有最高次數，它們都是眾數（雙峰或多峰）。
• 除以錯誤的個數 — 確保你除以的是資料點總數，而非相異值的個數。
• 未經考慮便納入離群值 — 務必檢查是否有可能使平均數產生誤導的極端值。