信賴區間計算機

**信賴區間（CI）**是根據樣本資料建構、未知母體參數的一段合理值範圍。95% 信賴區間表示：若你多次重複抽樣程序，約 95% 所建構的區間會包含真實參數。

重要：這 95% 指的是程序，而非任何單一已計算出的區間。一旦從資料建構出區間，它要嘛包含、要嘛不包含真實參數——但我們不知道是哪一種。

核心結構：每個信賴區間都具有以下形式

$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$

估計值是樣本統計量（$\bar{x}$ 或 $\hat{p}$）。誤差界限是臨界值乘以估計值的標準誤。

信賴區間出現在：

• 選舉民調（「52% 支持，誤差界限 $\pm 3\%$」）
• 醫學研究（效果量信賴區間）
• 品質管制（平均缺陷率）
• 任何你想量化估計不確定性、而不只是回報點值的場合。

母體平均數的信賴區間（Z 區間）

當母體標準差 $\sigma$ 已知且抽樣分配近似常態（大 $n$ 或常態母體）時：

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中 $z^*$ 是所選信賴水準的臨界值。

母體平均數的信賴區間（T 區間）

當 $\sigma$ 未知（你只有 $s$，即樣本標準差）——這在實務上更常見：

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

臨界值 $t^*$ 來自自由度為 $n - 1$ 的 t 分配。對於大 $n$（$\geq 30$），$t^* \approx z^*$，兩種區間非常相近。

母體比例的信賴區間

對於樣本比例 $\hat{p} = x/n$（其中 $x$ 為成功次數）：

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

當 $n\hat{p} \geq 10$ 且 $n(1 - \hat{p}) \geq 10$（成功-失敗條件）時有效。

臨界值

誤差界限

$\text{ME} = (\text{臨界值}) \times (\text{標準誤})$

增加樣本數 $n$ 會使標準誤（進而使誤差界限）以 $\sqrt{n}$ 的倍率縮小。將 $n$ 變為四倍可使誤差界限減半。

選擇信賴水準

• 更高信賴水準 = 更寬的區間。99% 信賴區間比 95% 寬，95% 又比 90% 寬。
• 95% 是大多數學術與專業情境的預設值。
• 風險較高時用 99%（醫學、安全）；當較緊的點估計比覆蓋率更重要時用 90%。

• 誤解這 95%：「真實平均數有 95% 機率落在此區間內」是錯誤的（頻率學派）。正確說法是關於程序的：95% 以類似方式建構的區間包含真實參數。
• 該用 t 時卻用 z：當 $\sigma$ 未知時，使用 $t^*$。使用 $z^*$ 會低估不確定性，尤其對小 $n$。
• 標準誤忘記 $\sqrt{n}$：是 $\sigma/\sqrt{n}$，而非 $\sigma/n$。
• 臨界值方向錯誤：$z^* = 1.96$ 對應 95%（雙尾），而非第 95 百分位 $z = 1.645$。雙尾臨界值在每一尾各切掉 $\alpha/2$。
• 比例略過成功-失敗條件：若 $n\hat{p}$ 或 $n(1-\hat{p}) < 10$，常態近似失效——改用精確（Clopper-Pearson）或得分型區間。
• 混淆 CI 與預測區間：95% CI 以 95% 覆蓋率估計平均數。預測區間估計單一未來觀測值——寬得多。