拉普拉斯變換計算機

拉普拉斯變換將時間函數 $f(t)$ 轉換為複頻率函數 $F(s)$：

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

此變換對於某個使積分收斂的右半平面 $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ 中的 $s$ 有定義。

為什麼這很有用：拉普拉斯變換將微分轉換為乘以 $s$，把常係數線性 ODE 變成 $s$ 的代數方程式。你解出代數，再取反拉普拉斯變換得到時域中的答案。

拉普拉斯變換也能優雅地處理不連續與脈衝輸入（步階函數、狄拉克 delta），這使它在控制理論、訊號處理與電機工程中不可或缺。

基本變換對

熟記核心表格：

關鍵性質

線性：

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

第一平移定理（s 平移）：

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

這就是 $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$ 的由來。

$t$ 域中的微分：

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

這就是將 ODE 轉換為代數的關鍵：導數變成 $s$ 的多項式乘以 $F(s)$，並把初始條件納入其中。

乘以 $t$：

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

反拉普拉斯變換

給定 $F(s)$，求 $f(t)$ 使得 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$。標準技巧：

1. 部分分式：將 $F(s)$ 分解為符合表格的簡單有理項。
2. 配方法：對於 $\frac{1}{s^2 + bs + c}$ 形式，改寫為 $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ 以符合平移後的正弦表格項。
3. 查表並利用線性合併。

用拉普拉斯變換求解 ODE

對於 $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$，$y(0) = 0, y'(0) = 1$：

1. 套用拉普拉斯變換：$s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. 解出 $Y$：$Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$，所以 $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$（化簡後）。
3. 反變換：$y(t) = t e^{-t}$。

乾淨而機械——同樣的問題用參數變換法要花兩倍的工夫。

• 忘記初始條件：$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$。略去 $f(0)$ 是最常見的單一錯誤。
• s 平移的正負號錯誤：$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$，而非 $F(s + a)$。正負號很重要。
• 不連續處理錯誤：對於步階輸入，使用單位步階函數 $u(t-a)$ 與時間平移定理 $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$。
• 未先部分分式便反變換：$\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ 無法直接反變換——先分解。
• 混淆 $F(s)$ 與 $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$：$F(s)$ 是變換，$f(t)$ 是原函數。ODE 問題務必回到時域作結。