瑕積分計算機

瑕積分是一種定積分，其中：

1. 積分區間為無窮：例如 $\int_1^\infty f(x)\,dx$ 或 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. 被積函數在區間內部或端點有鉛直漸近線：例如 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

在這兩種情況下，標準的黎曼積分無定義，但我們有時可以利用極限指定一個有限的值。

若極限存在且有限，則瑕積分收斂。若極限為無窮或不存在，則積分發散。

瑕積分在機率（正規化常數）、拉普拉斯與傅立葉變換，以及級數斂散性判別法中居於核心地位。

類型 1：無窮區間

以極限取代無窮：

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

對於兩端皆為無窮，在任意方便的點 $c$ 處分割：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

兩部分都必須各自收斂——否則整個積分發散。

類型 2：無界被積函數

若 $f$ 在 $[a, b]$ 內部的 $x = c$ 處無界，則分割並取極限：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

若奇點在 $x = a$ 處：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

$p$ 判別法

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{當 } p > 1 \text{ 時收斂，當 } p \leq 1 \text{ 時發散}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{當 } p < 1 \text{ 時收斂，當 } p \geq 1 \text{ 時發散}$

臨界指數為 $p = 1$。注意這兩種情況的收斂規則相反。

比較判別法

若在區間上 $0 \leq f(x) \leq g(x)$：

• $\int g$ 收斂 $\Rightarrow \int f$ 收斂
• $\int f$ 發散 $\Rightarrow \int g$ 發散

當積分本身難算但其界限容易時很有用。

• 把 $\infty$ 當成一個數：你不能「代入」$\infty$。必須使用極限。
• 遺漏內部奇點：$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ 在區間內部的 $0$ 處有奇點。天真地計算會得到 $0$（錯誤）——實際上該積分發散。
• 將「相消」的分段瑕積分相加：$\int_{-\infty}^\infty x\,dx$——兩半都發散，所以積分發散。「主值」是另一個（較弱的）概念。
• $p$ 判別法方向錯誤：在 $\infty$ 處，$1/x^p$ 當 $p > 1$ 收斂。在 $0$ 處，當 $p < 1$ 收斂。兩者相反——兩個都要記。
• 未先驗證收斂便積分：發散的瑕積分沒有值。務必先檢查收斂性。