綜合除法計算機

綜合除法是將多項式 $p(x)$ 除以一次因式 $x - k$ 的捷徑。它比長除法更快，並產生相同的商與餘式，只是書寫較少。

給定 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 除以 $x - k$，綜合除法產生：

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

其中 $q(x)$ 是商（次數 $n - 1$），$r$ 是常數餘式。

主要用途：

1. 快速多項式除法，當除式為一次的 $x - k$ 時。
2. 求 $p(k)$ 的值——根據餘式定理，$p(k) = r$，所以餘式恰為函數值。
3. 多項式因式分解——若 $r = 0$，則 $(x - k)$ 是因式，且 $q(x)$ 告訴你其餘因式。
4. 結合有理根定理尋找有理根。

設定

要將 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 除以 $x - k$：

1. 將除式的零點 $k$ 寫在左側。
2. 在右側列出 $p(x)$ 的係數，對任何缺項補上零。

演算法

1. 將第一個係數（$a_n$）原封不動往下移。
2. 乘以 $k$，並將結果寫在下一個係數（$a_{n-1}$）下方。
3. 將該欄相加。把和寫在最下面一列。
4. 重複：將該和乘以 $k$，寫在下一個係數下方，再相加。
5. 持續直到處理完所有係數。

讀取結果

最下面一列包含：

• 前 $n$ 個項目：商 $q(x)$ 的係數（依次數遞減排列）。
• 最後一個項目：餘式 $r$。

範例：$(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

$x^3 + 0x^2 - 4x + 5$ 的係數：$[1, 0, -4, 5]$。除式零點：$k = 2$。

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

商：$x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$。餘式：$5$。

所以 $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$。

與餘式定理的關聯

$p(x) = (x - k)q(x) + r$ 中的餘式 $r$ 等於 $p(k)$。令 $x = k$：

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

所以綜合除法是不需代入即可求 $p(k)$ 的快速方法。

因式定理

一個推論：$(x - k)$ 是 $p(x)$ 的因式的充要條件為 $p(k) = 0$，亦即綜合除法的餘式為 $0$。

• 遺漏補零的佔位：對於 $p(x) = x^3 - 4x + 5$，缺少的 $x^2$ 項必須補上 $0$，否則各欄會錯位。
• $k$ 的正負號錯誤：要除以 $x - 2$，使用 $k = 2$（除式的零點）。要除以 $x + 3$，使用 $k = -3$。
• 不能直接用於 $ax - k$ 的除式：所教的綜合除法適用於 $x - k$（首項係數為 1）。對於 $ax - k$，先提出 $a$ 或改用多項式長除法。
• 忘記先移下第一個係數：第一步永遠是「移下 $a_n$」——尚未做任何乘法。
• 誤讀商：最下列前 $n$ 個項目是係數，且次數降 1。4 次多項式除以 $x - k$ 得到 3 次的商。