分析非線性微分方程式 x″ = −0.005 sin(x)，求首次積分並給出小角度近似解。

Step-by-step solution

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   先認出這條方程式，以及它為什麼抗拒常規解法。 寫成 $x''+0.005\sin x=0$，這就是 $\omega^2=0.005$ 的無阻尼單擺方程式。因為含有 $\sin x$，它是非線性的，所以特徵根、待定係數法與拉普拉斯轉換全部失效——根本不存在初等函數的封閉解。

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   兩邊乘上 x′，湊出一個恰當導數。 這是處理 $x''=F(x)$ 的標準技巧：

   $x'x''=-0.005\,x'\sin x$

   把兩邊都認成對時間的導數：$x'x''=\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac12(x')^2\right)$，又因為 $\dfrac{d}{dt}\cos x=-x'\sin x$，右邊就是 $0.005\dfrac{d}{dt}(\cos x)$。

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   積分一次得到守恆的能量。 合併之後積一次分：

   $\frac{d}{dt}\left(\frac12(x')^2-0.005\cos x\right)=0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac12(x')^2-0.005\cos x=C$

   這個首次積分就是總能量：$\tfrac12(x')^2$ 是動能，$-0.005\cos x$ 是位能。它把二階方程式降成一階。

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   分離變數，並遇上橢圓積分。 解出 $x'$：

   $(x')^2=2C+0.01\cos x\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm\,dt$

   所以

   $\int\frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm t+C_2$

   這個積分不是初等的——它是第一類不完全橢圓積分。這就是精確解誠實的樣貌：隱式，而不是顯式。

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   小角度時線性化。 當 $|x|\ll1$ 時 $\sin x\approx x$，方程式變成

   $x''+0.005x=0$

   也就是簡諧振子。它的特徵方程式 $r^2+0.005=0$ 給出 $r=\pm i\sqrt{0.005}$，因此

   $x(t)=C_1\cos\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)+C_2\sin\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)$

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   把物理常數提出來。 因為 $0.005=\tfrac{1}{200}$，角頻率是

   $\omega=\sqrt{0.005}=\frac{1}{\sqrt{200}}=0.0707107\ \text{每單位時間的弧度}$

   週期為 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=88.858$。注意線性化後的週期與振幅無關，而真正的非線性週期會隨振幅變長——這是近似所掩蓋掉最重要的一項差別。

7. 7

   把兩個結果都做數值驗證。 用四階 Runge-Kutta 由 $x(0)=1.2$、$x'(0)=0$ 積分兩百萬步，能量 $\tfrac12(x')^2-0.005\cos x$ 與初值 $-0.00181179$ 的偏移小於 $10^{-13}$ ✓，確認了首次積分。至於線性解，取 $C_1=0.9$、$C_2=-0.4$，在 $t=3,\,20,\,-7$ 處滿足 $x''=-0.005x$ 到小數點後九位 ✓。