4,400 元投入每年複利計息的帳戶，5 年後帳戶餘額為 5,790 元。當初的年利率是多少？

Step-by-step solution

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   從複利公式出發。 每年複利一次時，

   $A=P(1+r)^t$

   其中 $P=4400$ 是本金、$A=5790$ 是 $t=5$ 年後的餘額、$r$ 是以小數表示的年利率。除了 $r$ 全都已知，所以這其實是一道代數題：把 $r$ 解出來。

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   先把成長因子孤立出來。 代入數值後兩邊同除本金，$P$ 就消失了：

   $5790=4400(1+r)^5\ \Longrightarrow\ (1+r)^5=\frac{5790}{4400}=1.3159090909\ldots$

   這個數字是五年的總成長 —— 錢總共成長了約 $31.6\%$，不是每年成長這麼多。

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   開 5 次方把指數解掉。 兩邊取 $\tfrac15$ 次方，就把總成長換成年成長：

   $1+r=\left(1.3159090909\right)^{1/5}=1.05644083.$

   這裡常見的錯誤是把總成長直接除以 $5$，那樣會得到約 $6.3\%$，是錯的，因為複利是相乘而不是相加。

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   減 1 再換成百分比。

   $r=1.05644083-1=0.05644083=5.644083\%.$

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   四捨五入並驗算。 到小數第一位是 $\mathbf{5.6\%}$。把兩個候選值分別代回目標餘額檢查：4400(1.056)^5=\5{,}777.93$、$4400(1.057)^5=$5{,}805.34$，而未四捨五入的利率剛好重現$$5{,}790.00$。因為$5.644%$低於$5.65%$這個中點，所以**往下**捨成$5.6%$，而$5.6%$ 確實也是兩者中較接近的。