解 (1 + x) 的 12 次方 減 11.0528x = 1。

Step-by-step solution

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   改寫成求根問題。 把 $1$ 移到左邊，定義 $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ 於是要找的就是 $f(x)=0$。這正是年金／內部報酬率方程式的典型長相：$12$ 期的累積因子，對上 $11.0528$ 倍的利率。

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   先看出那個平凡根。 $f(0)=1^{12}-0-1=0$，所以 $x=0$ 是一個精確解。它是「零利率」的退化情形，因此可以預期還有第二個在經濟上有意義的根。

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   去找第二個根之前，先定出轉折點。 $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$，它在 $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$ 時為零，也就是 $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$。由於 $f'$ 隨 $x$ 遞增，這是唯一的極小點，而且 $f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$。

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   據此斷定恰有兩個實根，並把另一個夾出來。 $f$ 從 $f(-1)=10.0528$ 一路降到極小值，再回升到 $f(0)=0$，所以有一個根落在極小點的左邊。試算：$f(-0.02)=+0.0057727$、$f(-0.01)=-0.0030871$，可見那個根落在 $(-0.02,-0.01)$ 之中。

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   用二分法算到完整精度。 把區間反覆對半分，得到 $x \approx -0.01508489,$ 此處 $f(x)$ 為零的誤差在 $10^{-16}$ 以內。要小心別停在 $x\approx-0.00745$ 附近：那是極小點，該處 $f=-0.0035\ne0$。

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   驗算並加以解讀。 $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$，而 $-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$；兩者相加是 $1.000000$，與右邊相符。兩個實數解是 $x=0$ 與每期 $x\approx-1.5085\%$；沒有正利率的解，因為對所有 $x>0$ 都有 $f>0$。