導數 vs 微分

導數 與 微分 密切相關卻是不同的數學物件，把兩者搞混是許多微妙微積分錯誤的根源。

導數

導數 $f'(x)$（或 $\frac{dy}{dx}$）是一個 函數，給出 $f$ 在每個 $x$ 處的變化率。對 $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$。

數值上：在 $x = 3$ 處，$f'(3) = 6$——該點切線的斜率。

微分

微分 $dy$ 是與 $x$ 的無窮小變化 $dx$ 對應的 $y$ 的 無窮小變化：

$dy = f'(x) \, dx$

對 $y = x^2$：$dy = 2x \, dx$。

微分讓你把導數寫成無窮小的 比值——在積分的 代換（$u$ 代換：$du = u'(x) dx$）以及微分方程式的 分離變數 中很有用。

差別何時重要

在積分中：$\int 2x \, dx$ 用的是微分 $dx$，不是導數。

在隱函數微分中：由 $x^2 + y^2 = 25$，取微分：$2x \, dx + 2y \, dy = 0$，然後解出 $\frac{dy}{dx}$。

在物理中：$dW = F \, dx$（功作為微分），而非「功等於力的導數」。

線性近似

對小的 $dx$，$dy$ 也作為 $\Delta y$（實際變化）的 線性近似：

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

這是誤差傳播、牛頓法，以及整個微積分線性近似基礎的根本。

結論

想要變化率 / 函數時，用 導數 $f'(x)$。想要無窮小變化時，特別是在積分、代換或微分方程式中，用 微分 $dy = f'(x) dx$。