定積分 vs 不定積分

定積分與不定積分使用相同的積分技巧（換元、分部、部分分式），但它們回答的是根本不同的問題，產生的也是根本不同的東西。

各自是什麼

不定積分 $\int f(x) \, dx$ ——產生一個函數，即反導數族：

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

其中 $F'(x) = f(x)$。「+C」提醒你反導數有無限多個（任何垂直平移都成立）。

定積分 $\int_a^b f(x) \, dx$ ——產生一個數，即區間 $[a, b]$ 上曲線 $y = f(x)$ 與 x 軸之間的有號面積：

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

（微積分基本定理。）

主要差異一覽

面向	不定積分	定積分
輸出	函數 $F(x) + C$	數
積分上下限	無	$a$（下限）與 $b$（上限）
需要「+C」	是	否（相減時抵消）
幾何意義	反導數族	有號面積

解題範例

對 $f(x) = 2x$ 計算兩者。

不定積分：$\int 2x \, dx = x^2 + C$。

從 0 到 3 的定積分：$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$。

數 9 是由 $y = 2x$、$x = 0$、$x = 3$ 圍成的三角形面積——確實，這個三角形底為 3、高為 6，所以面積 $= \frac{1}{2}(3)(6) = 9$。✓

「有號」面積——這是什麼意思？

當 $[a, b]$ 上 $f(x) < 0$ 時，定積分為 負。它仍代表面積（取絕對值），但帶有一個符號，表示曲線在 x 軸下方。

例：$\int_0^\pi \sin x \, dx = 2$（軸上方，正）。$\int_\pi^{2\pi} \sin x \, dx = -2$（軸下方，負）。$\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0$（抵消）。

若你想要 無號面積，就積分 $|f(x)|$ ——在零點處分段。

它們如何連結：基本定理

連結兩者的橋樑是 微積分基本定理，它說：

1. 微分與積分是 互逆 運算。
2. 定積分可透過求出 任一 反導數（任一不定積分）並在端點代入來計算。

這就是為什麼掌握不定積分是計算定積分的先決條件。

常見錯誤

• 在不定積分中 忘記「+C」——大多數作業要扣分。
• 在定積分中 加上「+C」——它在 $F(b) - F(a)$ 中會抵消，加上去顯示出觀念混淆。
• 在定積分使用 u 換元 時 在積分前就代入上下限——把上下限換成新變數，或先換回 $x$。兩者皆可，但混用會出錯。

用我們的解題器試試兩者

把任何積分丟進 積分計算器 ——可在定積分（含上下限）與不定積分之間切換。AI 會展示逐步技巧與幾何詮釋。