相關變化率：可重複套用的 6 步解題策略

相關變化率問題聽起來很抽象——「一架梯子順著牆滑下來，頂端下落得有多快？」——但它們都遵循同一套六步模式。掌握這套配方，這些問題就會從令人生畏變成機械操作。

6 步配方

1. 把題目讀兩遍，找出每一個量。把它畫出來。
2. 給會變化的量用字母標記；常量用數字。
3. 找一個方程式把變化的量聯繫起來（幾何、畢氏、相似三角形、面積、體積……）。
4. 兩邊對時間 $t$ 隱式求導。每個變化的量都會貢獻一個 $\frac{d \cdot}{dt}$ 項。
5. 代入快照值，但只在求導之後。代入太早會抹掉變化率資訊。
6. 解出未知的變化率，並複核單位。

範例 1：滑動的梯子

一架 13 英尺的梯子靠在牆上。它的底端以 2 英尺/秒向外滑動。當底端離牆 5 英尺時，頂端向下滑動得有多快？

1. 變數：$x$ = 底端距離，$y$ = 頂端高度。兩者都隨 $t$ 變化。
2. 約束：$x^2 + y^2 = 169$（畢氏——梯子長度恆定）。
3. 求導：$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$。
4. 快照：$x = 5$，所以 $y = \sqrt{169 - 25} = 12$。已知 $\frac{dx}{dt} = 2$。
5. 求解：$2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ 英尺/秒。

頂端以 $5/6$ 英尺/秒下落。負號意味著高度在減小——合理性檢查通過。

範例 2：注水的圓錐

水以 $3 \text{ ft}^3/\text{min}$ 注入一個圓錐（頂點朝下）。圓錐高 10 英尺，頂部半徑 4 英尺。當水深為 6 英尺時，水位上升得有多快？

1. 變數：$V$ = 水的體積，$h$ = 水深，$r$ = 水面半徑。
2. 圓錐體積：$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。用相似三角形：$r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$。
3. 代換為單一變數：$V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$。
4. 求導：$\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$。
5. 代入 $h = 6$，$\frac{dV}{dt} = 3$：$3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$。
6. 求解：$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ 英尺/分。

常見錯誤

• 太早代入數字——求導會把關係「凍結」住；你會丟失關於事物如何變化的資訊。
• 對 $r^2$ 這樣的東西求導時忘記連鎖律——它變成 $2r \frac{dr}{dt}$，而不是 $2r$。
• 求導前沒有用相似三角形消去多餘變數。

用 AI 導數求解器試試

用導數計算器來驗證任何相關變化率的求導步驟——尤其是隱函數那些。

相關參考：

• 極限計算器 — 導數的底層是極限
• 積分計算器 — 不定積分的搭檔
• 三角形求解器 — 用於許多問題的幾何建模