機率基礎：法則、組合數學與範例

機率把不確定性量化。好消息是：大多數作業題都歸結為一小套法則，外加願意仔細地數清楚。本指南涵蓋你在進入分布、假設檢定或貝氏推論之前所需的基礎。

「機率」是什麼意思

事件 $A$ 的機率是

$P(A) = \frac{\text{有利結果數}}{\text{結果總數}}$

前提是所有結果等可能發生。$P(A) \in [0, 1]$：

• $0$ = 不可能。
• $1$ = 必然。
• $0.5$ = 擲一次硬幣。

對於不等可能的結果，你要給每個結果分配權重（這正是機率分布所做的事）。

三條核心法則

加法法則（A 或 B 的機率）

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

減去交集，免得重複計數。如果 $A$ 和 $B$ 是互斥的（不能同時發生），交集就是零。

範例：從一副 52 張牌中抽一張，$P(\text{K 或紅心}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$。（有一張牌既是 K 又是紅心，所以要減。）

乘法法則（A 且 B 的機率）

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

如果 $A$ 和 $B$ 是獨立的（一個不影響另一個），則 $P(B | A) = P(B)$，化簡為 $P(A) \cdot P(B)$。

範例：擲兩個骰子，$P(\text{兩個都是 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$。（兩次擲骰相互獨立。）

條件機率

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

在 $A$ 已經發生的條件下 $B$ 的機率。它是貝氏定理和絕大部分推論統計的基礎。

範例：抽出的一張牌是花牌。它是 K 的機率是多少？

• $P(\text{K 且花牌}) = 4/52$。
• $P(\text{花牌}) = 12/52$。
• $P(\text{K | 花牌}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$。

計數：排列與組合

從 $n$ 個物件中取 $r$ 個：

• 排列（順序有關）：$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$。
• 組合（順序無關）：$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

判斷的關鍵是「把我選出的兩個物件互換，結果會不會變成不一樣的？」：

• 會（例如金牌 vs 銀牌）→ 排列。
• 不會（例如選一個 5 人委員會）→ 組合。

解題範例：彩券

從 49 個號碼裡選 6 個。你彩券上的順序無所謂——組合。

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

所以 $P(\text{中 6 個號碼頭獎}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$。

獨立 vs 互斥（別搞混了！）

• 獨立：知道 $A$ 不會改變 $P(B)$。擲硬幣是獨立的。
• 互斥：$A$ 和 $B$ 不能同時發生。擲一個骰子不可能既是 1 又是 2。

兩個事件可以是獨立、互斥、兩者皆是、或兩者皆非。儘管常被混淆，它們不是同一個概念。

常見錯誤

• 賭徒謬誤：「我連續擲出了 5 次正面，所以下一次必定是反面。」擲硬幣是獨立的——過去不會改變未來的機率。
• 不減交集就把非互斥的機率相加。$P(\text{K}) + P(\text{紅心}) \neq P(\text{K 或紅心})$。
• 把 $P(A | B)$ 和 $P(B | A)$ 混為一談。經典的檢察官謬誤：「在被告無罪的前提下，出現這一證據的機率很小；因此在有這一證據的前提下，無罪的機率很小。」不套用貝氏定理，這在邏輯上是錯的。

自己試一試

把任意機率問題輸入機率計算器——加法、乘法、條件，還有組合數學。AI 會一步步帶你走完。

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