排列 vs 組合

排列與組合看起來幾乎一模一樣，直到你問出一個問題：順序重要嗎？ 弄錯這點，你的機率答案就會差上 $r!$ 倍甚至更多。以下用解題範例給出清楚的區別。

核心問題：順序重要嗎？

• 是，順序重要 → 排列。從 10 名跑者中選出第 1 / 2 / 3 名。
• 否，順序不重要 → 組合。從 20 人中選出 5 人委員會。

同樣的 10 名候選人，依角色是否有別，會得出不同的答案。

公式

從 $n$ 個元素中選 $r$ 個：

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

注意組合就是排列 除以 $r!$——因為組合不在意順序，那個 $r!$ 去除了所選元素的各種排序。

解題範例

排列：賽事頒獎台

10 名跑者，三個獎牌名次（金、銀、銅）。順序重要——金 ≠ 銀。

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

組合：彩券號碼

從 49 個號碼中選 6 個——你彩券上的順序不重要。

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

相同數字，不同答案

從 {A, B, C, D} 中選 3 個字母。

• 作為排列（3 字母密碼）：$P(4, 3) = 24$。ABC、ACB、BAC、... 全部不同。
• 作為組合（只是選 3 個字母）：$C(4, 3) = 4$。{A,B,C}、{A,B,D}、{A,C,D}、{B,C,D}。

兩者間 $3! = 6$ 的倍數差，正是公式中的 $r!$。

判斷捷徑

不確定時，問自己：「如果把我選的兩個元素互換，結果會不同嗎？」

• 會 → 排列
• 不會 → 組合

選隊長與副隊長 → 互換會改變誰是隊長 → 排列。
選 2 人組成雙人組 → 互換還是同一組 → 組合。

常見錯誤

• 涉及機率時把兩者混用。分母（總結果數）與分子（有利結果數）必須使用 相同 的計數方法。
• 忘記 $r!$ 除數。若你想要組合卻算了排列，會多算 $r!$ 倍。
• 可區分與不可區分的元素。若某些元素相同（例如 5 顆紅球與 3 顆藍球），任一簡單公式都不適用——你需要多項式係數 $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$。

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