部分分式分解：完整的工作流程

部分分式分解是一項代數技能，它能讓你積分這世界上任意一個有理函數。與其和一個醜陋的分數搏鬥，不如把它拆成若干個可以逐項輕鬆積分的部分。本指南會帶你走過你會遇到的每一種情形。

準備工作

有理函數是 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P, Q$ 是多項式。部分分式只在 $P$ 的次數 < $Q$ 的次數 時才有效。如果不滿足，先做多項式長除法，把多項式部分剝離出來。

做完除法後，把 $Q(x)$ 在實數範圍內完全因式分解。每個因式都屬於以下四種類別之一。

四種情形

情形 1：相異一次因式

如果 $Q(x) = (x - a)(x - b)$，寫成：

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

範例。 分解 $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$。

兩邊同乘：$5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$。

代入 $x = 1$：$4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$。
代入 $x = -2$：$-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$。

所以 $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$。

情形 2：重複一次因式

對於 $(x - a)^k$，你需要每個冪次各一項，直到 $k$：

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

情形 3：不可約二次因式

對每個不可約的 $x^2 + bx + c$，用一個帶兩個未知數的分子：

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

情形 4：重複的不可約二次

與情形 2 思路相同，但每個冪次都取 $Bx + C$ 的形式。

在積分中的應用

一旦分解完成，就逐項積分：

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$（當 $k > 1$ 時）
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ 拆成一個 $\ln$ 部分和一個 $\arctan$ 部分。

常見錯誤

• 當 $P$ 的次數 ≥ $Q$ 的次數時，忘了先做長除法。
• 跳過重複項——$(x - 1)^3$ 需要三個獨立的分式。
• 試圖因式分解不可約二次式——在硬求實根之前先檢查判別式。

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積分求解器會在需要時自動進行部分分式分解，並展示每一步。

相關參考：

• 因式分解計算器 —— 用於拆開 $Q(x)$
• 多項式計算器 —— 用於長除法的準備
• 極限計算器 —— 在某些部分分式分解的驗證技巧中用到