畫有理函數圖形：漸近線、空心點與截距

有理函數 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 畫出來的是代數中最有辨識度的一些圖形——朝無窮大發散的分支、一眼看不出的空心點，以及曲線永遠貼著卻始終不穿過的漸近線。本指南給你一份能畫出任意有理函數的清單。

5 步工作流程

1. 把分子和分母徹底因式分解。
2. 在公因式處找出空心點（約去它們，但把對應的 x 值標記為空心點）。
3. 在分母剩下的零點處畫垂直漸近線。
4. 由次數比較得出水平或斜漸近線。
5. 截距：若有定義，$f(0)$ 給出 y 截距；化簡後分子的零點給出 x 截距。

以 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x - 6}$ 為例逐步示範

因式分解

$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+2)}$

沒有公因式 → 沒有空心點。

垂直漸近線

分母的零點是 $x = 3$ 和 $x = -2$。兩條垂直漸近線。

水平漸近線

分子次數（2）= 分母次數（2）。水平漸近線是最高次項係數之比：$y = 1/1 = 1$。

截距

• $f(0) = (-1)(1)/((-3)(2)) = -1 / -6 = 1/6$。y 截距：$(0, 1/6)$。
• 分子的零點：$x = 1$ 和 $x = -1$。x 截距就在這兩處。

畫草圖

兩條垂直漸近線把 x 軸分成三個區域。在每個區域取一個樣本點，檢驗 $f$ 是正還是負。當 $x \to \pm\infty$ 時圖形趨近於 $y = 1$，並穿過上面求出的那些截距。

漸近線規則一表搞定

比較次數	漸近線類型
deg(P) < deg(Q)	$y = 0$ 水平
deg(P) = deg(Q)	$y = a/b$ 水平（最高次項係數之比）
deg(P) = deg(Q) + 1	斜漸近線（做多項式長除法）
deg(P) ≥ deg(Q) + 2	沒有水平/斜漸近線；兩端按多項式方式飛出去

解題範例：一個空心點

$g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

約分：當 $x \ne 2$ 時 $g(x) = x + 2$。畫直線 $y = x + 2$，並在 $(2, 4)$ 處畫一個空心圓——那就是空心點。

常見錯誤

• 忘掉空心點——約去因式會消掉垂直漸近線，但會留下空心點。
• 次數不同時錯用水平漸近線規則。
• 以為圖形永遠不會穿過水平漸近線——其實經常穿過，只是當 $x \to \pm\infty$ 時絕不會。

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把你的有理函數輸入方程式求解器，它會自動因式分解並辨識零點／極點。

相關參考：

• 多項式計算器——用於斜漸近線情形裡的長除法步驟
• 因式分解計算器——第 1 步的基礎
• 極限計算器——漸近線就是無窮遠處的極限